与えられた4つの関数について、その増減を調べ、グラフの概形を把握する。 (1) $y = \frac{1}{x^2 + 4}$ (2) $y = x\sqrt{3-x}$ (3) $y = (x+1)e^{-x} \quad (-2 \le x \le 2)$ (4) $y = \frac{\log x}{x} \quad (0 < x \le e^2)$

はい、承知いたしました。それでは、与えられた問題について、それぞれの関数の増減を調べてグラフをかく手順を説明します。今回は、関数のグラフを描くまでを詳細に説明するのは難しいので、増減表を作成するところまでを解説します。

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、その増減を調べ、グラフの概形を把握する。

(1) $y = \frac{1}{x^2 + 4}$

(2) $y = x\sqrt{3-x}$

(3) $y = (x+1)e^{-x} \quad (-2 \le x \le 2)$

(4) $y = \frac{\log x}{x} \quad (0 < x \le e^2)$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で増減を調べます。

(1) 定義域を確認する。

(2) 導関数 $y'$ を計算する。

(3) $y' = 0$ となる $x$ の値を求める（臨界点）。

(4) 増減表を作成する。増減表には、 $x$ の値、 $y'$ の符号、 $y$ の増減を記入する。

(5) 必要に応じて、第2次導関数 $y''$ を計算し、グラフの凹凸を調べる。

以下に、各関数に対する増減表作成の過程を示します。

(1) $y = \frac{1}{x^2 + 4}$

* 定義域：すべての実数

* 導関数：

$y' = -\frac{2x}{(x^2+4)^2}$

* $y' = 0$ となる $x$ ： $x = 0$

* 増減表：

| $x$ | $\cdots$ | 0 | $\cdots$ |

| :--- | :------- | :- | :------- |

| $y'$ | + | 0 | - |

| $y$ | 増加 | 極大 | 減少 |

$x = 0$ のとき、$y = \frac{1}{4}$ (極大値)

(2) $y = x\sqrt{3-x}$

* 定義域：$3-x \ge 0$ より $x \le 3$

* 導関数：

$y' = \sqrt{3-x} + x\frac{-1}{2\sqrt{3-x}} = \frac{2(3-x) - x}{2\sqrt{3-x}} = \frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}} = \frac{3(2-x)}{2\sqrt{3-x}}$

* $y' = 0$ となる $x$ ： $x = 2$

* 増減表：

| $x$ | $\cdots$ | 2 | $\cdots$ | 3 |

| :--- | :------- | :- | :------- | :- |

| $y'$ | + | 0 | - | |

| $y$ | 増加 | 極大 | 減少 | 0 |

$x = 2$ のとき、$y = 2$ (極大値)

(3) $y = (x+1)e^{-x} \quad (-2 \le x \le 2)$

* 定義域：$-2 \le x \le 2$

* 導関数：

$y' = e^{-x} + (x+1)(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} - e^{-x} = -xe^{-x}$

* $y' = 0$ となる $x$ ： $x = 0$

* 増減表：

| $x$ | -2 | $\cdots$ | 0 | $\cdots$ | 2 |

| :--- | :- | :------- | :- | :------- | :- |

| $y'$ | | + | 0 | - | |

| $y$ | | 増加 | 極大 | 減少 | |

$x = 0$ のとき、$y = 1$ (極大値)

(4) $y = \frac{\log x}{x} \quad (0 < x \le e^2)$

* 定義域：$0 < x \le e^2$

* 導関数：

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$

* $y' = 0$ となる $x$ ： $\log x = 1$ より $x = e$

* 増減表：

| $x$ | 0 | $\cdots$ | e | $\cdots$ | $e^2$ |

| :--- | :- | :------- | :- | :------- | :---- |

| $y'$ | | + | 0 | - | |

| $y$ | | 増加 | 極大 | 減少 | |

$x = e$ のとき、$y = \frac{1}{e}$ (極大値)

3. 最終的な答え

上記に各関数の増減表を示しました。増減表を元にグラフを描画することで、関数の増減や極値、最大値・最小値などを視覚的に把握することができます。それぞれの増減表から、関数の概形を把握してください。