導関数の定義に従って関数 $f(x) = \frac{1}{x+1}$ を微分する。

1. 問題の内容

導関数の定義に従って関数 $f(x) = \frac{1}{x+1}$ を微分する。

2. 解き方の手順

導関数の定義は、

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

である。

まず、$f(x+h)$を計算する。

$f(x+h) = \frac{1}{(x+h)+1} = \frac{1}{x+h+1}$

次に、$f(x+h) - f(x)$ を計算する。

$f(x+h) - f(x) = \frac{1}{x+h+1} - \frac{1}{x+1}$

$= \frac{(x+1) - (x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}$

$= \frac{x+1 - x - h - 1}{(x+h+1)(x+1)}$

$= \frac{-h}{(x+h+1)(x+1)}$

次に、$\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を計算する。

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{\frac{-h}{(x+h+1)(x+1)}}{h}$

$= \frac{-h}{h(x+h+1)(x+1)}$

$= \frac{-1}{(x+h+1)(x+1)}$

最後に、$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ を計算する。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{(x+h+1)(x+1)}$

$= \frac{-1}{(x+0+1)(x+1)}$

$= \frac{-1}{(x+1)(x+1)}$

$= \frac{-1}{(x+1)^2}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = \frac{-1}{(x+1)^2}$