問題は、与えられた関数の増減、最大値・最小値、第2次導関数、グラフの概形、極値と変曲点、微分、$x$の値が1から0.02だけ増加したときの関数値の変化量を微分を用いて近似的に求める、という様々なタイプの微分に関する問題です。具体的には、Q6.1からQ6.6までの問題が含まれています。

1. 問題の内容

問題は、与えられた関数の増減、最大値・最小値、第2次導関数、グラフの概形、極値と変曲点、微分、$x$の値が1から0.02だけ増加したときの関数値の変化量を微分を用いて近似的に求める、という様々なタイプの微分に関する問題です。具体的には、Q6.1からQ6.6までの問題が含まれています。

2. 解き方の手順

各問題ごとに解き方が異なります。

* Q6.1 (1) $y = \frac{1}{x^2+4}$

* 増減を調べるために微分を計算します。$y' = \frac{-2x}{(x^2+4)^2}$

* $y'=0$となる$x$を求めます。$x=0$

* 増減表を作成し、グラフの概形を描きます。

* Q6.1 (2) $y = x\sqrt{3-x}$

* 定義域は$3-x \ge 0$より、$x \le 3$

* 微分を計算します。$y' = \sqrt{3-x} - \frac{x}{2\sqrt{3-x}} = \frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}}$

* $y'=0$となる$x$を求めます。$x=2$

* 増減表を作成し、グラフの概形を描きます。

* Q6.1 (3) $y = (x+1)e^{-x}$ ($-2 \le x \le 2$)

* 微分を計算します。$y' = e^{-x} - (x+1)e^{-x} = -xe^{-x}$

* $y'=0$となる$x$を求めます。$x=0$

* 増減表を作成し、グラフの概形を描きます。

* Q6.1 (4) $y = \frac{\log x}{x}$ ($0 < x \le e^2$)

* 微分を計算します。$y' = \frac{\frac{1}{x}x - \log x}{x^2} = \frac{1-\log x}{x^2}$

* $y'=0$となる$x$を求めます。$x=e$

* 増減表を作成し、グラフの概形を描きます。

* Q6.2 (1) $y = x - 2\sqrt{x}$ ($0 \le x \le 4$)

* 微分を計算します。$y' = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}$

* $y'=0$となる$x$を求めます。$x=1$

* $x=0, 1, 4$における$y$の値を計算し、最大値と最小値を求めます。

* Q6.2 (2) $y = \frac{2x}{x^2+1}$ ($0 \le x \le 4$)

* 微分を計算します。$y' = \frac{2(x^2+1) - 2x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2-2x^2}{(x^2+1)^2}$

* $y'=0$となる$x$を求めます。$x=1$

* $x=0, 1, 4$における$y$の値を計算し、最大値と最小値を求めます。

* Q6.2 (3) $y = (x-2)e^x$ ($-1 \le x \le 2$)

* 微分を計算します。$y' = e^x + (x-2)e^x = (x-1)e^x$

* $y'=0$となる$x$を求めます。$x=1$

* $x=-1, 1, 2$における$y$の値を計算し、最大値と最小値を求めます。

* Q6.2 (4) $y = x^2 + \frac{2}{x}$ ($0 < x \le 2$)

* 微分を計算します。$y' = 2x - \frac{2}{x^2} = \frac{2x^3-2}{x^2}$

* $y'=0$となる$x$を求めます。$x=1$

* $x=1, 2$における$y$の値を計算し、最大値と最小値を求めます。$x=0$で発散するので注意が必要です。

* Q6.3 (1) $y = 3x^2 + 4x - 1$

* 第2次導関数を求めます。$y' = 6x + 4$, $y'' = 6$

* Q6.3 (2) $y = (2x^2+1)^4$

* 第2次導関数を求めます。$y' = 4(2x^2+1)^3(4x) = 16x(2x^2+1)^3$, $y'' = 16(2x^2+1)^3 + 16x(3(2x^2+1)^2(4x)) = 16(2x^2+1)^3 + 192x^2(2x^2+1)^2 = 16(2x^2+1)^2(2x^2+1 + 12x^2) = 16(2x^2+1)^2(14x^2+1)$

* Q6.3 (3) $y = x^2(2x-1)^2$

* 第2次導関数を求めます。$y = x^2(4x^2 - 4x + 1) = 4x^4 - 4x^3 + x^2$, $y' = 16x^3 - 12x^2 + 2x$, $y'' = 48x^2 - 24x + 2$

* Q6.3 (4) $y = \cos^2 x$

* 第2次導関数を求めます。$y' = 2\cos x (-\sin x) = -\sin 2x$, $y'' = -2\cos 2x$

* Q6.3 (5) $y = xe^{-x}$

* 第2次導関数を求めます。$y' = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$, $y'' = -e^{-x} - (1-x)e^{-x} = (x-2)e^{-x}$

* Q6.3 (6) $y = (\log x)^2$

* 第2次導関数を求めます。$y' = 2(\log x) \frac{1}{x} = \frac{2\log x}{x}$, $y'' = \frac{\frac{2}{x}x - 2\log x}{x^2} = \frac{2 - 2\log x}{x^2}$

* Q6.4 以降の問題も同様に、微分や増減表を用いて解きます。

* Q6.6 (1) $y = x^3 - 2x^2 + 3x - 5$

* 微分を計算します。$y' = 3x^2 - 4x + 3$

* $x=1$のときの微分係数を求めます。$y'(1) = 3 - 4 + 3 = 2$

* $\Delta y \approx y'(1) \Delta x = 2(0.02) = 0.04$

* $y(1) = 1 - 2 + 3 - 5 = -3$

* $y(1.02) \approx y(1) + \Delta y = -3 + 0.04 = -2.96$

* Q6.6 (2) $y = \frac{1}{x^2+1}$

* 微分を計算します。$y' = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}$

* $x=1$のときの微分係数を求めます。$y'(1) = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

* $\Delta y \approx y'(1) \Delta x = -\frac{1}{2}(0.02) = -0.01$

* $y(1) = \frac{1}{2} = 0.5$

* $y(1.02) \approx y(1) + \Delta y = 0.5 - 0.01 = 0.49$

* Q6.6 (3) $y = e^{1-x}$

* 微分を計算します。$y' = -e^{1-x}$

* $x=1$のときの微分係数を求めます。$y'(1) = -1$

* $\Delta y \approx y'(1) \Delta x = -1(0.02) = -0.02$

* $y(1) = e^0 = 1$

* $y(1.02) \approx y(1) + \Delta y = 1 - 0.02 = 0.98$

* Q6.6 (4) $y = \log x$

* 微分を計算します。$y' = \frac{1}{x}$

* $x=1$のときの微分係数を求めます。$y'(1) = 1$

* $\Delta y \approx y'(1) \Delta x = 1(0.02) = 0.02$

* $y(1) = \log 1 = 0$

* $y(1.02) \approx y(1) + \Delta y = 0 + 0.02 = 0.02$

3. 最終的な答え

上記の手順に従って各問題を解き、最終的な答えを求めます。ここではいくつか例を挙げます。

* Q6.6 (1) の答え:

$\Delta y \approx 0.04$, $y(1.02) \approx -2.96$

* Q6.6 (2) の答え:

$\Delta y \approx -0.01$, $y(1.02) \approx 0.49$

* Q6.6 (3) の答え:

$\Delta y \approx -0.02$, $y(1.02) \approx 0.98$

* Q6.6 (4) の答え:

$\Delta y \approx 0.02$, $y(1.02) \approx 0.02$

他の問題についても同様に解いてください。