$\lim_{x \to 0} \frac{(2+x)^3 - (2-x)^3}{x}$ を計算します。

## 問題 4(2) の解説

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{(2+x)^3 - (2-x)^3}{x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、分子を展開します。

$(2+x)^3 = 8 + 12x + 6x^2 + x^3$

$(2-x)^3 = 8 - 12x + 6x^2 - x^3$

したがって、

$(2+x)^3 - (2-x)^3 = (8 + 12x + 6x^2 + x^3) - (8 - 12x + 6x^2 - x^3) = 24x + 2x^3$

与えられた極限は

$\lim_{x \to 0} \frac{24x + 2x^3}{x}$

と書き直すことができます。

$x \neq 0$ であることを考慮すると、分子と分母から $x$ をキャンセルできます。

$\lim_{x \to 0} \frac{24x + 2x^3}{x} = \lim_{x \to 0} (24 + 2x^2)$

最後に、$x$ を 0 に近づけます。

$\lim_{x \to 0} (24 + 2x^2) = 24 + 2(0)^2 = 24$

3. 最終的な答え

24