放物線 $y = x^2 - 4x + 2$ と直線 $y = 2x + k$ が接するときの、定数 $k$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 4x + 2$ と直線 $y = 2x + k$ が接するときの、定数 $k$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

放物線と直線が接するということは、それらの交点の個数が1つであるということです。

つまり、$x$ の二次方程式を立てて、その判別式が0になればよいです。

まず、$y$ を消去して、$x$ の二次方程式を作ります。

$x^2 - 4x + 2 = 2x + k$

$x^2 - 6x + (2 - k) = 0$

この二次方程式の判別式を $D$ とすると、

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - k) = 36 - 8 + 4k = 28 + 4k$

接するためには、$D = 0$ となればよいので、

$28 + 4k = 0$

$4k = -28$

$k = -7$

次に、接点の $x$ 座標を求めます。

$x^2 - 6x + (2 - (-7)) = 0$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

$x = 3$

接点の $y$ 座標は、直線 $y = 2x + k$ に $x = 3$, $k = -7$ を代入して、

$y = 2 \cdot 3 + (-7) = 6 - 7 = -1$

したがって、接点の座標は $(3, -1)$ です。

3. 最終的な答え

$k = -7$

接点の座標は $(3, -1)$