次の4つの関数のグラフを描く問題です。 (1) $y = |x-1|$ (2) $y = |x+1| + |x-1|$ (3) $y = |x^2 - 4x + 3|$ (4) $y = x^2 - 4|x| + 3$

1. 問題の内容

次の4つの関数のグラフを描く問題です。

(1) $y = |x-1|$

(2) $y = |x+1| + |x-1|$

(3) $y = |x^2 - 4x + 3|$

(4) $y = x^2 - 4|x| + 3$

2. 解き方の手順

(1) $y = |x-1|$

$x-1 \ge 0$ つまり $x \ge 1$ のとき、$y = x-1$

$x-1 < 0$ つまり $x < 1$ のとき、$y = -(x-1) = -x+1$

これは、$y = x-1$ の $x$軸より下の部分を$x$軸に関して折り返したグラフです。

(2) $y = |x+1| + |x-1|$

絶対値の中身が0になるのは$x = -1$と$x = 1$です。

したがって、場合分けは以下のようになります。

$x < -1$ のとき、$y = -(x+1) - (x-1) = -2x$

$-1 \le x < 1$ のとき、$y = (x+1) - (x-1) = 2$

$x \ge 1$ のとき、$y = (x+1) + (x-1) = 2x$

(3) $y = |x^2 - 4x + 3|$

$x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$

$x^2 - 4x + 3 \ge 0$ つまり $(x-1)(x-3) \ge 0$ のとき、$x \le 1$ または $x \ge 3$ で、$y = x^2 - 4x + 3$

$x^2 - 4x + 3 < 0$ つまり $(x-1)(x-3) < 0$ のとき、$1 < x < 3$ で、$y = -(x^2 - 4x + 3) = -x^2 + 4x - 3$

これは、$y = x^2 - 4x + 3$ の $x$軸より下の部分を$x$軸に関して折り返したグラフです。

(4) $y = x^2 - 4|x| + 3$

$x \ge 0$ のとき、$y = x^2 - 4x + 3$

$x < 0$ のとき、$y = x^2 - 4(-x) + 3 = x^2 + 4x + 3$

これは、$y = x^2 - 4x + 3$ の $x \ge 0$ の部分を$y$軸に関して対称に折り返したグラフです。

$x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$ なので、$x \ge 0$ では、$x = 1$と$x = 3$で$x$軸と交わります。

$x^2 + 4x + 3 = (x+1)(x+3)$ なので、$x < 0$ では、$x = -1$と$x = -3$で$x$軸と交わります。

3. 最終的な答え

各関数のグラフは上記の手順に従って描くことができます。具体的なグラフは図示することができません。