与えられた式 $a^2 + ab - 2a + b - 3$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2 + ab - 2a + b - 3$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a$ について整理します。

$a^2 + (b-2)a + (b-3)$

次に、定数項 $b-3$ を見て、足して $b-2$、かけて $b-3$ になる2つの数を見つけます。

$b-3 = (b+1)(-1-3)$ とはなりません。因数分解できる形かどうかを判断します。

$a^2 + (b-2)a + b - 3$ を $a$ の2次式と見て、判別式 $D$ を計算します。

$D = (b-2)^2 - 4(b-3) = b^2 - 4b + 4 - 4b + 12 = b^2 - 8b + 16 = (b-4)^2$

判別式が平方数であるので、$a$ について因数分解できます。

$a^2 + (b-2)a + b-3 = 0$ を解くと、

$a = \frac{-(b-2) \pm \sqrt{(b-4)^2}}{2} = \frac{-b+2 \pm (b-4)}{2}$

$a = \frac{-b+2 + b-4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$a = \frac{-b+2 - (b-4)}{2} = \frac{-2b + 6}{2} = -b + 3$

したがって、$a+1 = 0$ または $a+b-3 = 0$ なので、

$(a+1)(a+b-3) = 0$

元の式は $(a+1)(a+b-3) = a^2 + ab - 3a + a + b - 3 = a^2 + ab - 2a + b - 3$

3. 最終的な答え

$(a+1)(a+b-3)$