ある企業が送付した商品の0.2%が配送中に破損する。1000個の商品を配送したとき、以下の値を求める。 (1) 1個の商品も破損していない確率 (2) 1個の商品が破損している確率 (3) 2個以上の商品が破損している確率 (4) 破損している商品の数の平均値 (5) 破損している商品の標準偏差

1. 問題の内容

ある企業が送付した商品の0.2%が配送中に破損する。1000個の商品を配送したとき、以下の値を求める。

(1) 1個の商品も破損していない確率

(2) 1個の商品が破損している確率

(3) 2個以上の商品が破損している確率

(4) 破損している商品の数の平均値

(5) 破損している商品の標準偏差

2. 解き方の手順

この問題は、二項分布またはポアソン分布を用いて解くことができます。破損率が小さいので、ポアソン分布で近似します。

商品の破損確率 $p = 0.002$ (0.2%)

配送した商品の個数 $n = 1000$

平均破損数 $\lambda = np = 1000 \times 0.002 = 2$

ポアソン分布の確率質量関数は、

$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$

(1) 1個の商品も破損していない確率 ($k=0$)

$P(X=0) = \frac{e^{-2}2^0}{0!} = e^{-2} \approx 0.1353$

(2) 1個の商品が破損している確率 ($k=1$)

$P(X=1) = \frac{e^{-2}2^1}{1!} = 2e^{-2} \approx 0.2707$

(3) 2個以上の商品が破損している確率

$P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1) = 1 - e^{-2} - 2e^{-2} = 1 - 3e^{-2} \approx 1 - 3 \times 0.1353 = 1 - 0.4060 = 0.5940$

(4) 破損している商品の数の平均値

ポアソン分布の平均は $\lambda$ なので、平均値は $\lambda = 2$

(5) 破損している商品の標準偏差

ポアソン分布の分散は $\lambda$ なので、標準偏差は $\sqrt{\lambda} = \sqrt{2} \approx 1.414$

3. 最終的な答え

(1) 1個の商品も破損していない確率: $e^{-2} \approx 0.1353$

(2) 1個の商品が破損している確率: $2e^{-2} \approx 0.2707$

(3) 2個以上の商品が破損している確率: $1 - 3e^{-2} \approx 0.5940$

(4) 破損している商品の数の平均値: $2$

(5) 破損している商品の標準偏差: $\sqrt{2} \approx 1.414$