$a$を0でない実数の定数とする。2つの関数$f(x)=ax^2+2ax-a+6$, $g(x)=x-2a+9$について、以下の問いに答えよ。 (1) $a=1$のとき、$-3 \le x \le 0$における$f(x)$の最小値と最大値を求めよ。 (2) $-3 \le x \le 0$のとき、$f(x)$の最小値が4、最大値が8となるような$a$の個数を求めよ。 (3) 全ての実数$x$に対し、$f(x)>0$となるような$a$の値の範囲を求めよ。また、少なくとも1つの実数$x$に対し、$f(x)>g(x)$となるような$a$の値の範囲を求めよ。 (4) 関数$h(x)$を、$h(x)=f(x)+2a \cdot g(x)$と定める。$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に-1、$y$軸方向に-4だけ平行移動したグラフの方程式が$y=h(x)$と一致する。このような$a$の値を全て求めよ。

以下に、問題の解答を記述します。

1. 問題の内容

$a$を0でない実数の定数とする。2つの関数$f(x)=ax^2+2ax-a+6$, $g(x)=x-2a+9$について、以下の問いに答えよ。

(1) $a=1$のとき、$-3 \le x \le 0$における$f(x)$の最小値と最大値を求めよ。

(2) $-3 \le x \le 0$のとき、$f(x)$の最小値が4、最大値が8となるような$a$の個数を求めよ。

(3) 全ての実数$x$に対し、$f(x)>0$となるような$a$の値の範囲を求めよ。また、少なくとも1つの実数$x$に対し、$f(x)>g(x)$となるような$a$の値の範囲を求めよ。

(4) 関数$h(x)$を、$h(x)=f(x)+2a \cdot g(x)$と定める。$y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に-1、$y$軸方向に-4だけ平行移動したグラフの方程式が$y=h(x)$と一致する。このような$a$の値を全て求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a=1$のとき、$f(x)=x^2+2x-1+6=x^2+2x+5=(x+1)^2+4$となる。$-3 \le x \le 0$における$f(x)$は、$x=-1$のとき最小値4をとり、$x=-3$のとき最大値$(-3+1)^2+4=4+4=8$をとる。よって、最小値は4、最大値は8である。

(2) $f(x) = ax^2 + 2ax - a + 6 = a(x+1)^2 -2a + 6$となる。軸は$x=-1$である。

$-3 \le x \le 0$なので、

$a>0$のとき、$x=-1$で最小値$f(-1) = -2a+6=4$より、$a=1$。このとき、$f(0)=-a+6=5$、$f(-3)=9a-6a-a+6=2a+6=8$なので、$a=1$は条件を満たす。

$a<0$のとき、$x=-3$で最小値、$2a+6=4$より、$2a=-2$、$a=-1$。このとき、$f(0)=-a+6=7<8$となるので条件を満たさない。よって、$a$は1個である。

(3) 全ての実数$x$に対して$f(x)>0$となる条件は、$a>0$かつ判別式$D=4a^2-4a(-a+6)=4a^2+4a^2-24a=8a^2-24a<0$である。$8a(a-3)<0$より、$0<a<3$。

$f(x)>g(x)$となるためには、$ax^2+2ax-a+6>x-2a+9$、$ax^2+(2a-1)x+a-3>0$となる$x$が存在すれば良い。

$D=(2a-1)^2-4a(a-3)=4a^2-4a+1-4a^2+12a=8a+1>0$より、$a>-1/8$。

少なくとも1つの実数$x$で$f(x)>g(x)$となる$a$の範囲は、$a>-1/8$。

(4) $y=f(x)$のグラフを$x$軸方向に-1、$y$軸方向に-4だけ平行移動したグラフの方程式は、$y+4=a(x+1)^2+2a(x+1)-a+6$。

$y=a(x+2)^2+2a(x+2)-a+2=ax^2+4ax+4a+2ax+4a-a+2=ax^2+6ax+7a+2$

$h(x)=f(x)+2a \cdot g(x) = ax^2+2ax-a+6+2a(x-2a+9) = ax^2+2ax-a+6+2ax-4a^2+18a = ax^2+4ax-4a^2+17a+6$

$ax^2+6ax+7a+2 = ax^2+4ax-4a^2+17a+6$

$2ax+4a^2-10a-4=0$

これが全ての$x$で成り立つのは、$a=0$なので不適。

$f(x-1) - 4 = f(x) + 2a g(x)$

$f(x-1) = a(x-1)^2+2a(x-1)-a+6 = a(x^2-2x+1)+2ax-2a-a+6 = ax^2-2ax+a+2ax-3a+6 = ax^2-2a+6$

$ax^2-2a+6-4 = ax^2-2a+2 = ax^2+2ax-a+6+2a(x-2a+9) = ax^2+4ax-4a^2+17a+6$

$2ax-4a^2+19a+4=0$

3. 最終的な答え

7: 4 (エ)

8: 8 (ア)

9: 1 (ア)

10: $0 < a < 3$ (イ)

11: $a > -1/8$

12: 解けませんでした