行列 $A = \begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\ 1 & a & 0 \\ 0 & 4 & -4 \end{pmatrix}$ が固有値0を持つとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} a & 0 & 1 \\ 1 & a & 0 \\ 0 & 4 & -4 \end{pmatrix}$ が固有値0を持つとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

行列 $A$ が固有値0を持つということは、$A$ の行列式が0であるということと同値です。したがって、$det(A) = 0$ を満たす $a$ を求めます。

行列式を計算すると、

$det(A) = a \begin{vmatrix} a & 0 \\ 4 & -4 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -4 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & a \\ 0 & 4 \end{vmatrix}$

$= a(a(-4) - 0 \cdot 4) + 1(1 \cdot 4 - a \cdot 0)$

$= a(-4a) + 4$

$= -4a^2 + 4$

したがって、 $-4a^2 + 4 = 0$ を解きます。

$-4a^2 + 4 = 0$

$-4a^2 = -4$

$a^2 = 1$

$a = \pm 1$

3. 最終的な答え

$a = 1, -1$