与えられた3x3行列の余因子行列を求める問題です。与えられた行列は $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた3x3行列の余因子行列を求める問題です。与えられた行列は

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

余因子行列を求めるには、まず与えられた行列の各成分に対する余因子を計算し、それらを並べた行列の転置を求めます。

* 各成分の余因子を計算します。

余因子 $C_{ij}$ は、行列 $A$ から $i$ 行と $j$ 列を取り除いた部分行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ をかけたものです。

$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = (5 \times 9) - (6 \times 8) = 45 - 48 = -3$

$C_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = -( (4 \times 9) - (6 \times 7) ) = -(36 - 42) = 6$

$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = (4 \times 8) - (5 \times 7) = 32 - 35 = -3$

$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = -( (2 \times 9) - (3 \times 8) ) = -(18 - 24) = 6$

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = (1 \times 9) - (3 \times 7) = 9 - 21 = -12$

$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = -( (1 \times 8) - (2 \times 7) ) = -(8 - 14) = 6$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = (2 \times 6) - (3 \times 5) = 12 - 15 = -3$

$C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = -( (1 \times 6) - (3 \times 4) ) = -(6 - 12) = 6$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} = (1 \times 5) - (2 \times 4) = 5 - 8 = -3$

* 余因子行列を作成します。

余因子行列 $C$ は、上記の余因子を並べたものです。

$C = \begin{pmatrix} -3 & 6 & -3 \\ 6 & -12 & 6 \\ -3 & 6 & -3 \end{pmatrix}$

* 余因子行列の転置を求めます。

余因子行列の転置 $C^T$ は、行と列を入れ替えたものです。

$C^T = \begin{pmatrix} -3 & 6 & -3 \\ 6 & -12 & 6 \\ -3 & 6 & -3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

したがって、与えられた行列の余因子行列は、

$\begin{pmatrix} -3 & 6 & -3 \\ 6 & -12 & 6 \\ -3 & 6 & -3 \end{pmatrix}$

です。