$y = -x^2 + 2ax - 4a + 5$ という2次関数で表される放物線Cについて、以下の問いに答える問題です。 (1) 点(1, 4)がC上にあるときの$a$の値を求める。 (2) Cの頂点が直線$y = 2x - 4$上にあるときの$a$の値を求める。 (3) $x = p$のときの$y$の値と、$x = p + 4$のときの$y$の値が等しいときの、その$y$の値を$a$を用いて表す。 (4) $0 \le x \le 2$における$y$の最大値を$M$、最小値を$m$とするとき、$M - m = 2$となる$a$の値を求め、さらに、そのうちの最大のものと最小のものを求める。

1. 問題の内容

$y = -x^2 + 2ax - 4a + 5$ という2次関数で表される放物線Cについて、以下の問いに答える問題です。

(1) 点(1, 4)がC上にあるときの$a$の値を求める。

(2) Cの頂点が直線$y = 2x - 4$上にあるときの$a$の値を求める。

(3) $x = p$のときの$y$の値と、$x = p + 4$のときの$y$の値が等しいときの、その$y$の値を$a$を用いて表す。

(4) $0 \le x \le 2$における$y$の最大値を$M$、最小値を$m$とするとき、$M - m = 2$となる$a$の値を求め、さらに、そのうちの最大のものと最小のものを求める。

2. 解き方の手順

(1) 点(1, 4)が$y = -x^2 + 2ax - 4a + 5$上にあるので、$x = 1$, $y = 4$を代入します。

$4 = -1^2 + 2a(1) - 4a + 5$

$4 = -1 + 2a - 4a + 5$

$4 = -2a + 4$

$0 = -2a$

$a = 0$

(2) $y = -x^2 + 2ax - 4a + 5$を平方完成します。

$y = -(x^2 - 2ax) - 4a + 5$

$y = -(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) - 4a + 5$

$y = -(x - a)^2 + a^2 - 4a + 5$

頂点は$(a, a^2 - 4a + 5)$です。

頂点が$y = 2x - 4$上にあるので、$y = 2x - 4$に頂点の座標を代入します。

$a^2 - 4a + 5 = 2a - 4$

$a^2 - 6a + 9 = 0$

$(a - 3)^2 = 0$

$a = 3$

(3) $x = p$のとき$y = -p^2 + 2ap - 4a + 5$

$x = p + 4$のとき$y = -(p + 4)^2 + 2a(p + 4) - 4a + 5$

$x = p$と$x = p + 4$のとき$y$の値が等しいので、

$-p^2 + 2ap - 4a + 5 = -(p^2 + 8p + 16) + 2ap + 8a - 4a + 5$

$-p^2 + 2ap - 4a + 5 = -p^2 - 8p - 16 + 2ap + 4a + 5$

$-4a = -8p - 16 + 4a$

$-8a = -8p - 16$

$a = p + 2$

$p = a - 2$

$y = -p^2 + 2ap - 4a + 5$に代入して、$p = a - 2$を代入します。

$y = -(a - 2)^2 + 2a(a - 2) - 4a + 5$

$y = -(a^2 - 4a + 4) + 2a^2 - 4a - 4a + 5$

$y = -a^2 + 4a - 4 + 2a^2 - 8a + 5$

$y = a^2 - 4a + 1$

(4) $y = -(x-a)^2 + a^2 -4a + 5$

$0 \le x \le 2$における$y$の最大値$M$、最小値$m$を考える。

$M - m = 2$となる$a$の値を求める。

(i) $a<0$の時、Mは$x=0$の時、$m$は$x=2$の時

$M= -0 + 2a(0) -4a+5=-4a+5$

$m = -2^2 +2a(2) -4a +5 = -4+4a-4a+5=1$

$M-m=2$

$(-4a+5) - 1=2$

$-4a+4 =2$

$-4a=-2$

$a=1/2$ これは$a<0$を満たさない

(ii) $0 \le a \le 2$の時、Mは$x=a$の時、$m$は$x=0$または$x=2$のどちらか

$M = a^2 - 4a+5$

$x=0$の時、$y= -4a+5$

$x=2$の時、$y=-4+4a-4a+5=1$

$M-m=2$

$$

1. -4a+5 < 1$の時、$m = -4a+5$

$a^2 -4a+5 - (-4a+5) = 2$

$a^2=2$

$a = \sqrt2$

$$

2. -4a+5>1$の時、$m = 1$

$a^2-4a+5 -1 = 2$

$a^2-4a+2=0$

$a=2+\sqrt2, 2-\sqrt2$

$0 \le a \le 2$なので、$a=2-\sqrt2$

(iii) $a >2$の時、$M$は$x=2$の時、$m$は$x=0$の時

$M = 1$

$m= -4a+5$

$M-m=2$

$1-(-4a+5)=2$

$1+4a-5=2$

$4a-4=2$

$4a=6$

$a=3/2$ これは$a>2$を満たさない

$a$の値を求める個数は2個で$a=2-\sqrt2, a=\sqrt2$

$M = \sqrt2, m=2-\sqrt2$

3. 最終的な答え

7: ア. 0

8: エ. 3

9: ウ. $a^2 - 4a + 1$

10: イ. 2

11: イ. $\sqrt{2}$

12: ア. $2-\sqrt{2}$