与えられた行列$A$と$B$に対して、行列の積$AB$と$BA$をそれぞれ計算する問題です。具体的には、3つの異なる$A$と$B$のペアについて、$AB$と$BA$を求めます。

1. 問題の内容

与えられた行列$A$と$B$に対して、行列の積$AB$と$BA$をそれぞれ計算する問題です。具体的には、3つの異なる$A$と$B$のペアについて、$AB$と$BA$を求めます。

2. 解き方の手順

行列の積の定義に従って計算します。行列$A$の$i$行と行列$B$の$j$列の内積が、行列$AB$の$(i, j)$成分になります。同様に、$BA$も計算します。

(1)

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b & a \\ d & c \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c & d \\ a & b \end{pmatrix}$

(2)

$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & k \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & c & b \\ d & f & e \\ g & k & h \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ g & h & k \\ d & e & f \end{pmatrix}$

(3)

$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & k \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b & c & a \\ e & f & d \\ h & k & g \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g & h & k \\ a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$AB = \begin{pmatrix} b & a \\ d & c \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} c & d \\ a & b \end{pmatrix}$

(2)

$AB = \begin{pmatrix} a & c & b \\ d & f & e \\ g & k & h \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} a & b & c \\ g & h & k \\ d & e & f \end{pmatrix}$

(3)

$AB = \begin{pmatrix} b & c & a \\ e & f & d \\ h & k & g \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} g & h & k \\ a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix}$