与えられた行列 $A$ と $B$ について、以下の計算を行い、その結果を求める問題です。 (1) $AB - BA$ (2) $(A+B)(A-B)$ (3) ${}^tAA + {}^tBB$ ここで、${}^tA$ は行列 $A$ の転置行列を表します。 行列 $A$ と $B$ は以下の通りです。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ と $B$ について、以下の計算を行い、その結果を求める問題です。

(1) $AB - BA$

(2) $(A+B)(A-B)$

(3) ${}^tAA + {}^tBB$

ここで、${}^tA$ は行列 $A$ の転置行列を表します。

行列 $A$ と $B$ は以下の通りです。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) $AB - BA$ の計算

まず、$AB$ を計算します。

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 11 & -29 & 7 \\ 15 & 33 & 26 \end{pmatrix}$

次に、$BA$ を計算します。

$BA = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 31 & -2 & 6 \\ -5 & -15 & 3 \\ 18 & 27 & -4 \end{pmatrix}$

最後に、$AB - BA$ を計算します。

$AB - BA = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 11 & -29 & 7 \\ 15 & 33 & 26 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 31 & -2 & 6 \\ -5 & -15 & 3 \\ 18 & 27 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -28 & 4 & -2 \\ 16 & -14 & 4 \\ -3 & 6 & 30 \end{pmatrix}$

(2) $(A+B)(A-B)$ の計算

まず、$A+B$ を計算します。

$A + B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & -1 \\ 6 & 3 & 3 \end{pmatrix}$

次に、$A-B$ を計算します。

$A - B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 & -4 \\ 1 & 8 & -1 \\ 6 & -9 & 1 \end{pmatrix}$

最後に、$(A+B)(A-B)$ を計算します。

$(A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 3 & 2 & -1 \\ 6 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & -2 & -4 \\ 1 & 8 & -1 \\ 6 & -9 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & -24 & -14 \\ -2 & 23 & -15 \\ 9 & -21 & -24 \end{pmatrix}$

(3) ${}^tAA + {}^tBB$ の計算

まず、${}^tA$ を計算します。

${}^tA = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 0 & 5 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

次に、${}^tAA$ を計算します。

${}^tAA = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 \\ 0 & 5 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 41 & -8 & 10 \\ -8 & 34 & -11 \\ 10 & -11 & 5 \end{pmatrix}$

次に、${}^tB$ を計算します。

${}^tB = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 6 \\ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

次に、${}^tBB$ を計算します。

${}^tBB = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 6 \\ 4 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 1 & -3 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 3 & 12 \\ 1 & 43 & 14 \\ 12 & 14 & 17 \end{pmatrix}$

最後に、${}^tAA + {}^tBB$ を計算します。

${}^tAA + {}^tBB = \begin{pmatrix} 41 & -8 & 10 \\ -8 & 34 & -11 \\ 10 & -11 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 10 & 3 & 12 \\ 1 & 43 & 14 \\ 12 & 14 & 17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 51 & -5 & 22 \\ -7 & 77 & 3 \\ 22 & 3 & 22 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $AB - BA = \begin{pmatrix} -28 & 4 & -2 \\ 16 & -14 & 4 \\ -3 & 6 & 30 \end{pmatrix}$

(2) $(A+B)(A-B) = \begin{pmatrix} 18 & -24 & -14 \\ -2 & 23 & -15 \\ 9 & -21 & -24 \end{pmatrix}$

(3) ${}^tAA + {}^tBB = \begin{pmatrix} 51 & -5 & 22 \\ -7 & 77 & 3 \\ 22 & 3 & 22 \end{pmatrix}$