与えられた3つの行列の行列式を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた3つの行列の行列式を計算する問題です。

2. 解き方の手順

1つ目の行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 3 & 7 & 5 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 0 \end{vmatrix}$

第1列で余因子展開します。

$3 \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 7 & 5 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 7 & 5 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}$

$= 3((-1)(0) - (-2)(4)) = 3(0 + 8) = 3(8) = 24$

2つ目の行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

1行目と2行目を入れ替えます。行列式は $-1$ 倍されます。

$- \begin{vmatrix} 1 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}$

3行目と4行目を入れ替えます。行列式は $-1$ 倍されます。

$- (-1) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

これは上三角行列なので、対角成分の積が行列式になります。

$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

最初の入れ替えで $-1$ 倍され、次の入れ替えで $-1$ 倍されているので、最終的な行列式は $(-1)(-1) (1) = 1$ではなく、-1になります。 行列式は

(-1) * (-1) * 1 = 1

よって元の行列式は -1

3つ目の行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 7 & 2 & -1 & 9 \\ -8 & 0 & 3 & -6 \\ 4 & 0 & 0 & -9 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{vmatrix}$

2列目で余因子展開します。

$-2 \begin{vmatrix} -8 & 3 & -6 \\ 4 & 0 & -9 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix}$

3行目で余因子展開します。

$-2(5) \begin{vmatrix} -8 & 3 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = -10((-8)(0) - (3)(4)) = -10(0 - 12) = -10(-12) = 120$

3. 最終的な答え

1つ目の行列の行列式: 24

2つ目の行列の行列式: -1

3つ目の行列の行列式: 120