関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(5) = 4$、$f^{-1}(-5) = -1$ のとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = ax + b$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とする。$f^{-1}(5) = 4$、$f^{-1}(-5) = -1$ のとき、定数 $a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

逆関数の性質より、$f^{-1}(5) = 4$ は $f(4) = 5$ と同値であり、$f^{-1}(-5) = -1$ は $f(-1) = -5$ と同値である。

したがって、次の連立方程式を得る。

$f(4) = 4a + b = 5$

$f(-1) = -a + b = -5$

この連立方程式を解く。

まず、上の式から下の式を引くと、

$(4a + b) - (-a + b) = 5 - (-5)$

$5a = 10$

$a = 2$

$a = 2$ を $-a + b = -5$ に代入すると、

$-2 + b = -5$

$b = -3$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -3$