2次関数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ について、与えられた条件から係数 $a, b, c$ を決定し、その後、放物線 $C: y = f(x)$ を平行移動や対称移動させた放物線について、様々な値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ について、与えられた条件から係数 $a, b, c$ を決定し、その後、放物線 $C: y = f(x)$ を平行移動や対称移動させた放物線について、様々な値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ は $x = 6$ で最小値 $-3$ をとるので、$f(x) = a(x-6)^2 - 3$ と表せる。また、$C$ は点 $(0, 9)$ を通るので、$f(0) = 9$ より、$a(0-6)^2 - 3 = 9$。したがって、$36a = 12$ より $a = \frac{1}{3}$。よって、$f(x) = \frac{1}{3}(x-6)^2 - 3 = \frac{1}{3}x^2 - 4x + 9$ となり、$b = -4, c = 9$。したがって、選択肢より、

1: 3, 2: 4, 3: 9,

(2) $f(x) = \frac{1}{3}x^2 - 4x + 9$ に対して、$0 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める。

$f(x) = \frac{1}{3}(x^2 - 12x) + 9 = \frac{1}{3}(x^2 - 12x + 36) - 12 + 9 = \frac{1}{3}(x - 6)^2 - 3$。

$0 \le x \le 3$ では、$x = 0$ で最大値 $f(0) = 9$ をとる。$x = 3$ で $f(3) = \frac{1}{3}(3 - 6)^2 - 3 = \frac{1}{3}(9) - 3 = 0$。

したがって、選択肢より、

5: 0, 6: 9, 7: 3, 8: 0

(3) $C$ を $x$ 軸に関して対称移動すると $y = -f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 4x - 9$。

さらに $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動すると、

$y + 1 = -\frac{1}{3}(x + 3)^2 + 4(x + 3) - 9$

$y = -\frac{1}{3}(x^2 + 6x + 9) + 4x + 12 - 9 - 1 = -\frac{1}{3}x^2 - 2x - 3 + 4x + 2 = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 1$

したがって、選択肢より、

9: 1, 10: 3, 11: 2, 12: 1

(4) $C$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、

$y - q = \frac{1}{3}(x - p)^2 - 4(x - p) + 9 = \frac{1}{3}(x^2 - 2px + p^2) - 4x + 4p + 9$

$y = \frac{1}{3}x^2 - (\frac{2p}{3} + 4)x + \frac{p^2}{3} + 4p + 9 + q$

これが $y = \frac{1}{3}x^2 - 2x + 2$ と一致するので、

$\frac{2p}{3} + 4 = 2$ より $\frac{2p}{3} = -2$ なので $p = -3$。

$\frac{p^2}{3} + 4p + 9 + q = 2$ より $\frac{9}{3} - 12 + 9 + q = 2$ なので $q = 2 - 3 + 12 - 9 = 2$。

したがって、選択肢より、

13: 3, 14: 2

(5) $C_1$ は $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x - 1$。直線 $y = -x$ との共有点の $x$ 座標 $x_1, x_2$ は

$-\frac{1}{3}x^2 + 2x - 1 = -x$

$-\frac{1}{3}x^2 + 3x - 1 = 0$

$x^2 - 9x + 3 = 0$

$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 12}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{69}}{2}$

$|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{9^2 - 4 \cdot 3} = \sqrt{81 - 12} = \sqrt{69}$

$\frac{1}{2x_1} + \frac{1}{2x_2} = \frac{x_1 + x_2}{2x_1x_2} = \frac{9}{2 \cdot 3} = \frac{3}{2}$

したがって、選択肢より、

15: 6, 16: 9, 17: 3, 18: 2

(6) $C$ を原点に関して対称移動すると $y = -f(-x) = -\frac{1}{3}(-x)^2 + 4(-x) - 9 = -\frac{1}{3}x^2 - 4x - 9$。

さらに $y$ 軸方向に $p$ だけ平行移動すると $y = -\frac{1}{3}x^2 - 4x - 9 + p$。

$C_2$ と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標を $x_3, x_4$ とすると、

$-\frac{1}{3}x^2 - 4x - 9 + p = 0$

$x^2 + 12x + 27 - 3p = 0$

$x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 4(27 - 3p)}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 108 + 12p}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{36 + 12p}}{2} = -6 \pm \sqrt{9 + 3p}$

$x_4 - x_3 = 2\sqrt{9 + 3p} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{9 + 3p} = \sqrt{3}$

$9 + 3p = 3$

$3p = -6$

$p = -2$

$y = -\frac{1}{3}x^2 - 4x - 9 - 2 = -\frac{1}{3}x^2 - 4x - 11$

したがって、選択肢より、

19: 2, 20: 4, 21: 1, 22: 1

3. 最終的な答え

1: 3

2: 4

3: 9

5: 0

6: 9

7: 3

8: 0

9: 1

10: 3

11: 2

12: 1

13: 3

14: 2

15: 6

16: 9

17: 3

18: 2

19: 2

20: 4

21: 1

22: 1