$0 \le \theta \le 2\pi$ のとき、関数 $y = 2\sin{2\theta} + \cos{\theta} - \sin{\theta} + 2$ について、以下の問いに答える。 (1) $t = \cos{\theta} - \sin{\theta}$ とするとき、$y$ を $t$ の多項式で表せ。 (2) $y$ の最大値と最小値を求めよ。ただし、$y$ が最大値、最小値をとるときの $\theta$ の値を求める必要はない。

1. 問題の内容

$0 \le \theta \le 2\pi$ のとき、関数 $y = 2\sin{2\theta} + \cos{\theta} - \sin{\theta} + 2$ について、以下の問いに答える。

(1) $t = \cos{\theta} - \sin{\theta}$ とするとき、$y$ を $t$ の多項式で表せ。

(2) $y$ の最大値と最小値を求めよ。ただし、$y$ が最大値、最小値をとるときの $\theta$ の値を求める必要はない。

2. 解き方の手順

(1) $t = \cos{\theta} - \sin{\theta}$ より、$t^2 = (\cos{\theta} - \sin{\theta})^2 = \cos^2{\theta} - 2\sin{\theta}\cos{\theta} + \sin^2{\theta} = 1 - 2\sin{\theta}\cos{\theta} = 1 - \sin{2\theta}$ となる。

よって、$\sin{2\theta} = 1 - t^2$ である。

したがって、$y = 2(1 - t^2) + t + 2 = -2t^2 + t + 4$ となる。

(2) $t = \cos{\theta} - \sin{\theta} = \sqrt{2}\cos{(\theta + \frac{\pi}{4})}$ である。

$0 \le \theta \le 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le 2\pi + \frac{\pi}{4}$ であり、$-1 \le \cos{(\theta + \frac{\pi}{4})} \le 1$ であるから、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ である。

$y = -2t^2 + t + 4 = -2(t - \frac{1}{4})^2 + \frac{33}{8}$ である。

軸 $t = \frac{1}{4}$ は、$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ の範囲にある。

よって、$t = \frac{1}{4}$ のとき、$y$ は最大値 $\frac{33}{8}$ をとる。

$t = -\sqrt{2}$ のとき、$y = -2(-\sqrt{2})^2 - \sqrt{2} + 4 = -4 - \sqrt{2} + 4 = -\sqrt{2}$ である。

$t = \sqrt{2}$ のとき、$y = -2(\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} + 4 = -4 + \sqrt{2} + 4 = \sqrt{2}$ である。

したがって、$t = -\sqrt{2}$ のとき、$y$ は最小値 $-\sqrt{2}$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $y = -2t^2 + t + 4$

(2) 最大値 $\frac{33}{8}$ 、最小値 $-\sqrt{2}$