関数 $f(x) = \frac{ax-4}{x+3}$ と $g(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ について、合成関数 $(g \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a, b$ の値を求める問題です。ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ かつ $b \neq \frac{3}{2}$ とします。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{ax-4}{x+3}$ と $g(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ について、合成関数 $(g \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a, b$ の値を求める問題です。ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ かつ $b \neq \frac{3}{2}$ とします。

2. 解き方の手順

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ を計算し、$x$ に等しくなるように $a, b$ の値を決定します。

まず、$g(f(x))$ を計算します。

$g(f(x)) = g\left(\frac{ax-4}{x+3}\right) = \frac{3\left(\frac{ax-4}{x+3}\right)+4}{b\left(\frac{ax-4}{x+3}\right)+2}$

分母と分子に $x+3$ を掛けて、式を整理します。

$g(f(x)) = \frac{3(ax-4)+4(x+3)}{b(ax-4)+2(x+3)} = \frac{3ax - 12 + 4x + 12}{abx - 4b + 2x + 6} = \frac{(3a+4)x}{(ab+2)x + (6-4b)}$

$(g \circ f)(x) = x$ となるためには、

$\frac{(3a+4)x}{(ab+2)x + (6-4b)} = x$

$(3a+4)x = x((ab+2)x + (6-4b))$

$(3a+4)x = (ab+2)x^2 + (6-4b)x$

この式が全ての $x$ について成り立つためには、$x^2$ の係数が0でなければならず、$x$ の係数が等しくなければなりません。したがって、次の2つの条件が成り立ちます。

1. $ab+2 = 0$

2. $3a+4 = 6-4b$

条件1より、$ab = -2$

条件2より、$3a+4b = 2$

$b = -\frac{2}{a}$ を条件2に代入すると、

$3a + 4(-\frac{2}{a}) = 2$

$3a - \frac{8}{a} = 2$

$3a^2 - 8 = 2a$

$3a^2 - 2a - 8 = 0$

これを解くと、$(3a+4)(a-2) = 0$ なので、$a=2$ または $a=-\frac{4}{3}$ となります。

ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ なので、$a = 2$ が解となります。

$a=2$ のとき、$b = -\frac{2}{2} = -1$

3. 最終的な答え

$a=2, b=-1$