関数 $f(x) = \frac{3x+2}{x+a}$ について、合成関数 $(f \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a$ の値を求めよ。

代数学合成関数分数関数方程式関数
2025/7/25

1. 問題の内容

関数 f(x)=3x+2x+af(x) = \frac{3x+2}{x+a} について、合成関数 (ff)(x)=x(f \circ f)(x) = x が成り立つような定数 aa の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、f(f(x))f(f(x)) を計算します。
f(f(x))=f(3x+2x+a)=3(3x+2x+a)+23x+2x+a+af(f(x)) = f\left(\frac{3x+2}{x+a}\right) = \frac{3\left(\frac{3x+2}{x+a}\right)+2}{\frac{3x+2}{x+a}+a}
次に、この式を簡略化します。
f(f(x))=3(3x+2)+2(x+a)3x+2+a(x+a)=9x+6+2x+2a3x+2+ax+a2=11x+6+2a(3+a)x+a2+2f(f(x)) = \frac{3(3x+2)+2(x+a)}{3x+2+a(x+a)} = \frac{9x+6+2x+2a}{3x+2+ax+a^2} = \frac{11x+6+2a}{(3+a)x+a^2+2}
(ff)(x)=x(f \circ f)(x) = x が成り立つので、
11x+6+2a(3+a)x+a2+2=x\frac{11x+6+2a}{(3+a)x+a^2+2} = x
11x+6+2a=x((3+a)x+a2+2)11x+6+2a = x((3+a)x+a^2+2)
11x+6+2a=(3+a)x2+(a2+2)x11x+6+2a = (3+a)x^2 + (a^2+2)x
この等式が全ての xx について成り立つためには、x2x^2の係数が0でなければなりません。
したがって、3+a=03+a = 0 より、a=3a = -3
a=3a = -3 のとき、
11x+6+2(3)(3+(3))x+(3)2+2=11x+660x+9+2=11x11=x\frac{11x+6+2(-3)}{(3+(-3))x+(-3)^2+2} = \frac{11x+6-6}{0x+9+2} = \frac{11x}{11} = x
となり、f(f(x))=xf(f(x)) = xが成り立ちます。
したがって、
a=3a = -3

3. 最終的な答え

a=3a = -3

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