不等式 $-x^2 + 5x - 4 > 0$ を解け。

1. 問題の内容

不等式 $-x^2 + 5x - 4 > 0$ を解け。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に-1を掛けて、不等号の向きを変えます。

$x^2 - 5x + 4 < 0$

次に、左辺を因数分解します。

$(x-1)(x-4) < 0$

不等式が $(x-1)(x-4) < 0$ となるのは、$x-1$ と $x-4$ の符号が異なるときです。

(i) $x-1>0$ かつ $x-4<0$ の場合

$x>1$ かつ $x<4$ なので、$1<x<4$ となります。

(ii) $x-1<0$ かつ $x-4>0$ の場合

$x<1$ かつ $x>4$ となりますが、これは同時に満たす $x$ は存在しません。

したがって、$1<x<4$ が解となります。

3. 最終的な答え

$1 < x < 4$