不等式 $-4x^2 + 4x + 3 < 0$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $-4x^2 + 4x + 3 < 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に $-1$ を掛けて、$x^2$ の係数を正にします。このとき、不等号の向きが変わることに注意します。

$4x^2 - 4x - 3 > 0$

次に、左辺を因数分解します。

$(2x - 3)(2x + 1) > 0$

ここで、$2x - 3 = 0$ となる $x$ は $x = \frac{3}{2}$ であり、$2x + 1 = 0$ となる $x$ は $x = -\frac{1}{2}$ です。

したがって、数直線上で $-\frac{1}{2}$ と $\frac{3}{2}$ を区切りとして、3つの区間を考えます。

(i) $x < -\frac{1}{2}$ のとき、$2x - 3 < 0$ かつ $2x + 1 < 0$ なので、$(2x - 3)(2x + 1) > 0$ が成り立ちます。

(ii) $-\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ のとき、$2x - 3 < 0$ かつ $2x + 1 > 0$ なので、$(2x - 3)(2x + 1) < 0$ となり、不等式を満たしません。

(iii) $x > \frac{3}{2}$ のとき、$2x - 3 > 0$ かつ $2x + 1 > 0$ なので、$(2x - 3)(2x + 1) > 0$ が成り立ちます。

$x = -\frac{1}{2}$ と $x = \frac{3}{2}$ では不等式が成立しないため、解には含めません。

3. 最終的な答え

$x < -\frac{1}{2}$ または $x > \frac{3}{2}$