袋の中に赤球と白球が合わせて10個入っている。赤球の個数を $n$ とする。この袋から2個の球を同時に取り出すとき、2個とも同色の球を取り出す確率が、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率よりも小さくなるような $n$ の最大値を求める。ただし、$2 \le n \le 8$ とする。

1. 問題の内容

袋の中に赤球と白球が合わせて10個入っている。赤球の個数を $n$ とする。この袋から2個の球を同時に取り出すとき、2個とも同色の球を取り出す確率が、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率よりも小さくなるような $n$ の最大値を求める。ただし、$2 \le n \le 8$ とする。

2. 解き方の手順

まず、袋の中の白球の個数は $10 - n$ である。

2個とも同色の球を取り出す確率は、2個とも赤球である確率と2個とも白球である確率の和である。

2個とも赤球である確率は、$\frac{n \choose 2}{10 \choose 2} = \frac{n(n-1)}{10 \cdot 9}$。

2個とも白球である確率は、$\frac{10-n \choose 2}{10 \choose 2} = \frac{(10-n)(9-n)}{10 \cdot 9}$。

したがって、2個とも同色の球を取り出す確率は、

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\frac{n(n-1) + (10-n)(9-n)}{10 \cdot 9} = \frac{n^2 - n + 90 - 19n + n^2}{90} = \frac{2n^2 - 20n + 90}{90} = \frac{n^2 - 10n + 45}{45}

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赤球と白球を1個ずつ取り出す確率は、$\frac{n(10-n)}{10 \choose 2} = \frac{n(10-n)}{45}$。

問題文より、

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\frac{n^2 - 10n + 45}{45} < \frac{n(10-n)}{45}

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n^2 - 10n + 45 < 10n - n^2

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2n^2 - 20n + 45 < 0

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$2n^2 - 20n + 45 = 0$ を解くと、$n = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 360}}{4} = \frac{20 \pm \sqrt{40}}{4} = 5 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

$\sqrt{10} \approx 3.16$ なので、$\frac{\sqrt{10}}{2} \approx 1.58$。

したがって、 $5 - 1.58 < n < 5 + 1.58$ より、$3.42 < n < 6.58$。

$2 \le n \le 8$ の整数なので、$4 \le n \le 6$。

問題では、条件を満たす $n$ の最大値を求めるので、$n = 6$ を試してみる。

$2n^2 - 20n + 45 = 2(36) - 20(6) + 45 = 72 - 120 + 45 = -3 < 0$ なので、$n=6$ は条件を満たす。

$n=7$を試してみる。

$2n^2 - 20n + 45 = 2(49) - 20(7) + 45 = 98 - 140 + 45 = 3 > 0$ なので、$n=7$ は条件を満たさない。

したがって、条件を満たす $n$ の最大値は 6 である。

3. 最終的な答え

6