袋の中に赤球が $n$ 個、白球が $10-n$ 個入っている。この袋から2個の球を同時に取り出すとき、2個とも同色の球を取り出す確率が、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率より小さくなるような $n$ の最大値を求める。ただし、$2 \le n \le 8$ である。

1. 問題の内容

袋の中に赤球が $n$ 個、白球が $10-n$ 個入っている。この袋から2個の球を同時に取り出すとき、2個とも同色の球を取り出す確率が、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率より小さくなるような $n$ の最大値を求める。ただし、$2 \le n \le 8$ である。

2. 解き方の手順

まず、2個とも同色の球を取り出す確率を計算する。

2個とも赤球である確率は $\frac{n \choose 2}{10 \choose 2} = \frac{n(n-1)}{10 \times 9} = \frac{n(n-1)}{90}$

2個とも白球である確率は $\frac{(10-n) \choose 2}{10 \choose 2} = \frac{(10-n)(9-n)}{10 \times 9} = \frac{(10-n)(9-n)}{90}$

したがって、2個とも同色の球を取り出す確率は

$P(\text{同色}) = \frac{n(n-1)}{90} + \frac{(10-n)(9-n)}{90} = \frac{n^2 - n + 90 - 19n + n^2}{90} = \frac{2n^2 - 20n + 90}{90} = \frac{n^2 - 10n + 45}{45}$

次に、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率を計算する。

$P(\text{赤白}) = \frac{n(10-n)}{10 \choose 2} = \frac{n(10-n)}{45} = \frac{10n - n^2}{45}$

問題の条件より、$P(\text{同色}) < P(\text{赤白})$ であるから、

$\frac{n^2 - 10n + 45}{45} < \frac{10n - n^2}{45}$

$n^2 - 10n + 45 < 10n - n^2$

$2n^2 - 20n + 45 < 0$

$2n^2 - 20n + 45 = 0$ を解くと、

$n = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \times 2 \times 45}}{4} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 360}}{4} = \frac{20 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{20 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 5 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$

$\sqrt{10} \approx 3.16$ より、

$n \approx 5 \pm \frac{3.16}{2} = 5 \pm 1.58$

$n \approx 3.42$ または $n \approx 6.58$

$2n^2 - 20n + 45 < 0$ を満たす $n$ の範囲は $3.42 < n < 6.58$ である。

$2 \le n \le 8$ であるので、$n$ は $4, 5, 6$ となる。

したがって、$n$ の最大値は $6$ である。

3. 最終的な答え

6