赤球と白球が合計10個入った袋から2個の球を同時に取り出す。赤球の個数を $n$ とするとき、2個とも同色の球を取り出す確率が、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率よりも小さくなるような $n$ の最大値を求める。ただし、$2 \le n \le 8$ とする。

1. 問題の内容

赤球と白球が合計10個入った袋から2個の球を同時に取り出す。赤球の個数を $n$ とするとき、2個とも同色の球を取り出す確率が、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率よりも小さくなるような $n$ の最大値を求める。ただし、$2 \le n \le 8$ とする。

2. 解き方の手順

まず、2個とも同色の球を取り出す確率と、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率をそれぞれ $n$ を用いて表す。

袋の中には赤球が $n$ 個、白球が $10-n$ 個入っている。

2個とも同色の球を取り出す確率を $P(同色)$ とすると、これは2個とも赤球を取り出す確率と2個とも白球を取り出す確率の和なので、

$$P(同色) = \frac{{}_n C_2}{{}_{10} C_2} + \frac{{}_{10-n} C_2}{{}_{10} C_2} = \frac{\frac{n(n-1)}{2}}{\frac{10 \cdot 9}{2}} + \frac{\frac{(10-n)(9-n)}{2}}{\frac{10 \cdot 9}{2}} = \frac{n(n-1) + (10-n)(9-n)}{90}$$

赤球と白球を1個ずつ取り出す確率を $P(赤白)$ とすると、

$$P(赤白) = \frac{{}_n C_1 \cdot {}_{10-n} C_1}{{}_{10} C_2} = \frac{n(10-n)}{\frac{10 \cdot 9}{2}} = \frac{2n(10-n)}{90}$$

問題文より、$P(同色) < P(赤白)$ となる $n$ の条件を求める。

$$\frac{n(n-1) + (10-n)(9-n)}{90} < \frac{2n(10-n)}{90}$$

$$n(n-1) + (10-n)(9-n) < 2n(10-n)$$

$$n^2 - n + 90 - 19n + n^2 < 20n - 2n^2$$

$$2n^2 - 20n + 90 < 20n - 2n^2$$

$$4n^2 - 40n + 90 < 0$$

$$2n^2 - 20n + 45 < 0$$

この不等式を満たす $n$ の範囲を求めるために、二次方程式 $2n^2 - 20n + 45 = 0$ の解を求める。

$$n = \frac{-(-20) \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 45}}{2 \cdot 2} = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 360}}{4} = \frac{20 \pm \sqrt{40}}{4} = \frac{20 \pm 2\sqrt{10}}{4} = \frac{10 \pm \sqrt{10}}{2}$$

$n = \frac{10 - \sqrt{10}}{2} \approx \frac{10 - 3.16}{2} \approx 3.42$

$n = \frac{10 + \sqrt{10}}{2} \approx \frac{10 + 3.16}{2} \approx 6.58$

$2n^2 - 20n + 45 < 0$ を満たす $n$ の範囲は $\frac{10 - \sqrt{10}}{2} < n < \frac{10 + \sqrt{10}}{2}$ であるから、近似的に $3.42 < n < 6.58$ となる。

$2 \le n \le 8$ の整数であることから、条件を満たす $n$ は $4, 5, 6$ 。

したがって、最大値は $n = 6$ である。

3. 最終的な答え

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