袋の中に赤球と白球が合わせて7個入っている。赤球の個数を$n$（$n \ge 2$）とする。この袋から2個の球を同時に取り出すとき、赤球を2個取り出す確率と、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率が等しくなるような$n$の値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤球と白球が合わせて7個入っている。赤球の個数を$n$（$n \ge 2$）とする。この袋から2個の球を同時に取り出すとき、赤球を2個取り出す確率と、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率が等しくなるような$n$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、袋の中の白球の個数は$7-n$個である。

2個の球を同時に取り出す組み合わせの総数は、$_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$通り。

赤球を2個取り出す確率は、$\frac{_nC_2}{_7C_2} = \frac{\frac{n(n-1)}{2}}{21} = \frac{n(n-1)}{42}$。

赤球を1個、白球を1個取り出す確率は、$\frac{_nC_1 \times _{7-n}C_1}{_7C_2} = \frac{n(7-n)}{21}$。

赤球を2個取り出す確率と、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率が等しいので、

$\frac{n(n-1)}{42} = \frac{n(7-n)}{21}$

両辺に42を掛けて、

$n(n-1) = 2n(7-n)$

$n^2 - n = 14n - 2n^2$

$3n^2 - 15n = 0$

$3n(n - 5) = 0$

$n=0$または$n=5$

問題文より、$n \ge 2$なので、$n=5$。

3. 最終的な答え

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