袋の中に赤球が $n$ 個 ( $1 \leq n \leq 7$ ) と白球が入っており、合計で9個の球が入っている。この袋から2個の球を同時に取り出したとき、少なくとも1個が赤球である確率が $\frac{5}{12}$ となるような $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤球が $n$ 個 ( $1 \leq n \leq 7$ ) と白球が入っており、合計で9個の球が入っている。この袋から2個の球を同時に取り出したとき、少なくとも1個が赤球である確率が $\frac{5}{12}$ となるような $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、球の取り出し方は全部で ${}_9 C_2$ 通りである。

少なくとも1個赤球を取り出す確率は、1から2個とも白球を取り出す確率を引いたものである。

白球の個数は $9 - n$ であるから、2個とも白球を取り出す確率は $\frac{{}_{9-n} C_2}{{}_9 C_2}$ である。

したがって、少なくとも1個赤球を取り出す確率は $1 - \frac{{}_{9-n} C_2}{{}_9 C_2} = \frac{5}{12}$ である。

これから、$\frac{{}_{9-n} C_2}{{}_9 C_2} = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$ となる。

${}_9 C_2 = \frac{9 \times 8}{2} = 36$ であるから、${}_{9-n} C_2 = \frac{7}{12} \times 36 = 7 \times 3 = 21$ となる。

${}_{9-n} C_2 = \frac{(9-n)(8-n)}{2} = 21$ なので、 $(9-n)(8-n) = 42$ である。

$72 - 17n + n^2 = 42$ より、$n^2 - 17n + 30 = 0$ となる。

$(n-2)(n-15) = 0$ なので、$n=2$ または $n=15$ となる。

$1 \leq n \leq 7$ という条件があるので、$n = 2$ である。

3. 最終的な答え

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