袋の中に赤球が $n$ 個、白球が $9-n$ 個入っている。この袋から2個の球を同時に取り出したとき、少なくとも1個が赤球である確率が $\frac{5}{12}$ である。$n$ の値を求める。ただし、$1 \le n \le 7$ とする。

1. 問題の内容

袋の中に赤球が $n$ 個、白球が $9-n$ 個入っている。この袋から2個の球を同時に取り出したとき、少なくとも1個が赤球である確率が $\frac{5}{12}$ である。$n$ の値を求める。ただし、$1 \le n \le 7$ とする。

2. 解き方の手順

少なくとも1個が赤球である確率は、1から2個とも白球である確率を引けば求められる。

2個とも白球である確率は、白球の個数が $9-n$ 個なので、

$$\frac{_{9-n}C_2}{_9C_2}$$

したがって、少なくとも1個が赤球である確率は、

$$1 - \frac{_{9-n}C_2}{_9C_2} = \frac{5}{12}$$

これを解く。まず、$_9C_2$ を計算する。

$$_9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$$

したがって、

$$1 - \frac{_{9-n}C_2}{36} = \frac{5}{12}$$

$$\frac{_{9-n}C_2}{36} = 1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$$

$$_{9-n}C_2 = 36 \times \frac{7}{12} = 3 \times 7 = 21$$

ここで、$_{9-n}C_2 = \frac{(9-n)(8-n)}{2}$ なので、

$$\frac{(9-n)(8-n)}{2} = 21$$

$$(9-n)(8-n) = 42$$

$$72 - 17n + n^2 = 42$$

$$n^2 - 17n + 30 = 0$$

$$(n-2)(n-15) = 0$$

したがって、$n = 2$ または $n = 15$ となる。

ただし、$1 \le n \le 7$ なので、$n=2$ が解となる。

3. 最終的な答え

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