赤球と白球が合わせて9個入っている袋から、2個の球を同時に取り出す。赤球の個数を $n$ ($1 \le n \le 7$)とするとき、少なくとも1個赤球を取り出す確率が$\frac{5}{12}$となるような $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

赤球と白球が合わせて9個入っている袋から、2個の球を同時に取り出す。赤球の個数を $n$ ($1 \le n \le 7$)とするとき、少なくとも1個赤球を取り出す確率が$\frac{5}{12}$となるような $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

全事象は9個から2個選ぶ組み合わせなので、${}_9 C_2$ 通り。

少なくとも1個赤球を取り出す確率が $\frac{5}{12}$ であることから、余事象を考えると、2個とも白球である確率が $1 - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$ である。

白球の個数は $9 - n$ 個なので、2個とも白球である確率は、

$\frac{{}_{9-n} C_2}{{}_9 C_2}$ である。

${}_9 C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ なので、

$\frac{{}_{9-n} C_2}{36} = \frac{7}{12}$

${}_{9-n} C_2 = 36 \times \frac{7}{12} = 3 \times 7 = 21$

$\frac{(9-n)(8-n)}{2} = 21$

$(9-n)(8-n) = 42$

$72 - 17n + n^2 = 42$

$n^2 - 17n + 30 = 0$

$(n - 2)(n - 15) = 0$

$n = 2, 15$

$1 \le n \le 7$ より、$n = 2$

3. 最終的な答え

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