赤球と白球が合わせて7個入った袋から2個の球を同時に取り出す。袋の中の赤球の個数を $n$ ($1 \le n \le 6$) とする。少なくとも1個白球を取り出す確率と、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率が等しくなる $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

赤球と白球が合わせて7個入った袋から2個の球を同時に取り出す。袋の中の赤球の個数を $n$ ($1 \le n \le 6$) とする。少なくとも1個白球を取り出す確率と、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率が等しくなる $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、少なくとも1個白球を取り出す確率を求める。これは、2個とも赤球を取り出す確率の余事象として計算できる。

全事象は、7個から2個を選ぶ組み合わせなので、${}_7 C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通り。

2個とも赤球を取り出す確率は、$\frac{{}_n C_2}{{}_7 C_2} = \frac{n(n-1)/2}{21} = \frac{n(n-1)}{42}$

したがって、少なくとも1個白球を取り出す確率は $1 - \frac{n(n-1)}{42}$ となる。

次に、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率を求める。

赤球が $n$ 個なので、白球は $7-n$ 個。

赤球1個、白球1個を取り出す組み合わせの数は、${}_n C_1 \times {}_{7-n} C_1 = n(7-n)$ 通り。

したがって、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率は $\frac{n(7-n)}{21}$ となる。

問題文より、少なくとも1個白球を取り出す確率と、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率が等しいので、以下の式が成り立つ。

$1 - \frac{n(n-1)}{42} = \frac{n(7-n)}{21}$

両辺に42を掛けて、

$42 - n(n-1) = 2n(7-n)$

$42 - n^2 + n = 14n - 2n^2$

$n^2 - 13n + 42 = 0$

$(n-6)(n-7) = 0$

$n = 6$ または $n = 7$

ただし、$1 \le n \le 6$ なので、$n=6$ のみが条件を満たす。

3. 最終的な答え

n = 6