赤球と白球が合わせて7個入っている袋がある。袋の中の赤球の個数を $n$ (ただし、$1 \le n \le 6$)とする。この袋から2個の球を同時に取り出す。少なくとも1個白球を取り出す確率と、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率が等しくなるような $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

赤球と白球が合わせて7個入っている袋がある。袋の中の赤球の個数を $n$ (ただし、$1 \le n \le 6$)とする。この袋から2個の球を同時に取り出す。少なくとも1個白球を取り出す確率と、赤球と白球を1個ずつ取り出す確率が等しくなるような $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、袋の中の白球の個数は $7 - n$ 個である。

2個の球を同時に取り出す取り出し方は全部で ${}_7 C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通りである。

(1) 少なくとも1個白球を取り出す確率

少なくとも1個白球を取り出す確率は、2個とも赤球を取り出す確率の余事象である。

2個とも赤球を取り出す確率は $\frac{{}_n C_2}{{}_7 C_2} = \frac{n(n-1)/2}{21} = \frac{n(n-1)}{42}$である。

したがって、少なくとも1個白球を取り出す確率は

$1 - \frac{n(n-1)}{42}$

となる。

(2) 赤球と白球を1個ずつ取り出す確率

赤球を1個、白球を1個取り出す確率は、$\frac{{}_n C_1 \times {}_{7-n} C_1}{{}_7 C_2} = \frac{n(7-n)}{21}$となる。

(3) (1)と(2)の確率が等しい

$1 - \frac{n(n-1)}{42} = \frac{n(7-n)}{21}$

$42 - n(n-1) = 2n(7-n)$

$42 - n^2 + n = 14n - 2n^2$

$n^2 - 13n + 42 = 0$

$(n-6)(n-7) = 0$

$n = 6, 7$

ただし、$1 \le n \le 6$であるので、$n = 6$

3. 最終的な答え

$n = 6$