1個のサイコロを2回または3回投げたときに出る目をもとに定義される変数A, B, C, Xに関する確率を求める問題です。

1. 問題の内容

1個のサイコロを2回または3回投げたときに出る目をもとに定義される変数A, B, C, Xに関する確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 1個のサイコロを2回繰り返して投げるとき

$x_1 = x$, $x_2 = y$とする。$A = x - \sqrt{x_1} = x - \sqrt{x}$, $B = \sqrt{x_1 x_2} = \sqrt{xy}$.

* ア: $x=y$となる確率は、サイコロの目は1から6なので$1/6$です。

* イ: $x \neq y$となる確率は、$1 - 1/6 = 5/6$です。

* ウ: 例えば$x_1=1$, $x_2=1$の時、$A=1$, $B=1$。

* エ: 例えば、$x_1=2$, $x_2=2$の時、$A=\sqrt{2}$, $B=2$。

* カ: Aが整数である確率について、$A = x - \sqrt{x}$が整数になるのは、$x$が1または4のとき。確率は$2/6 = 1/3$

* キ: Bが整数である確率について、$B = \sqrt{xy}$ が整数になるのは、$xy$ が平方数であるときです。$(x, y) = (1, 1), (1, 4), (4, 1), (4, 4), (2, 2), (3, 3), (5, 5), (6, 6)$の8通りなので、$8/36 = 2/9$

* ク: $B$が整数である条件の下で、$A$が整数である条件付き確率を求めます。$B$が整数となるのは上記8パターン。そのうち、$A$も整数となるのは$(x, y) = (1, 1), (4, 1), (1, 4), (4, 4)$の4通り。したがって、条件付き確率は$4/8 = 1/2$

* ケ: $A$が整数である確率は$1/3$なので、キには$1/3$が入ります。

* コ: Bが整数である確率は$2/9$なので、クには$2/9$が入ります。

* サ: Bが整数であったとき、Aが整数である条件付き確率は$1/2$なので、ケには$1/2$が入ります。

(2) 1個のサイコロを3回繰り返して投げるとき

$x_1=x, x_2=y, x_3=z$とする。$A = x - \sqrt{x}$, $B = \sqrt{xy}$, $C = \sqrt[3]{xyz}$。$X$は、$A$, $B$, $C$のうち整数の個数。

* シ: $X=3$となる確率、$A$, $B$, $C$すべてが整数の場合を考えます。$x=1, y=1, z=1$の時、$A=0, B=1, C=1$となり、$X=3$です。サイコロの目が全て1となる確率は$(1/6)^3 = 1/216$

* スセ: $X=1$となる確率、$X=3$となる確率は、$1/216$。$X=0$となる確率は、全ての目を考慮する必要があり複雑です。そのため、$X=1$となる確率を直接求めるのは難しい。

3. 最終的な答え

ア: 1/6

イ: 5/6

ウ: 1

エ: $\sqrt{2}$

カ: 1/3

キ: 2/9

ク: 2/9

ケ: 1/3

コ: 2/9

サ: 1/2

シ: 1/216