(1) ある放物線を$x$軸方向に-1、$y$軸方向に-3だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動したところ、放物線$y=x^2-2x+2$に移った。もとの放物線の方程式を求めよ。 (2) $a<0$とする。関数$y=ax^2-4ax+b$ ($1 \le x \le 5$)の最大値が7で、最小値が-2であるように、定数$a$, $b$の値を定めよ。

はい、承知しました。数学の問題を解いて、指定された形式で回答します。

1. 問題の内容

(1) ある放物線を$x$軸方向に-1、$y$軸方向に-3だけ平行移動し、さらに$x$軸に関して対称移動したところ、放物線$y=x^2-2x+2$に移った。もとの放物線の方程式を求めよ。

(2) $a<0$とする。関数$y=ax^2-4ax+b$ ($1 \le x \le 5$)の最大値が7で、最小値が-2であるように、定数$a$, $b$の値を定めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、移動後の放物線$y=x^2-2x+2$に対して、移動の逆操作を行います。

1. $x$軸に関して対称移動の逆は、$x$軸に関して対称移動することなので、$y$を$-y$に置き換えます。

$-y=x^2-2x+2$

$y=-x^2+2x-2$

2. $y$軸方向に-3だけ平行移動の逆は、$y$軸方向に+3だけ平行移動することなので、$y$を$y-3$に置き換えます。

$y-3=-x^2+2x-2$

$y=-x^2+2x+1$

3. $x$軸方向に-1だけ平行移動の逆は、$x$軸方向に+1だけ平行移動することなので、$x$を$x-1$に置き換えます。

$y=-(x-1)^2+2(x-1)+1$

$y=-(x^2-2x+1)+2x-2+1$

$y=-x^2+2x-1+2x-1$

$y=-x^2+4x-2$

(2)

$y=ax^2-4ax+b$ ($1 \le x \le 5$)について、平方完成を行います。

$y=a(x^2-4x)+b$

$y=a(x^2-4x+4-4)+b$

$y=a(x-2)^2-4a+b$

軸は$x=2$で、$a<0$より上に凸のグラフであるから、$x=2$で最大値をとります。

$y = a(2-2)^2 - 4a + b = -4a + b = 7$

$1 \le x \le 5$の範囲で、$x=2$を中心に離れるほど、$y$の値は小さくなります。

したがって、$x=5$のとき最小値をとります。

$y = a(5-2)^2 - 4a + b = 9a - 4a + b = 5a + b = -2$

連立方程式

$-4a+b=7$

$5a+b=-2$

を解きます。下の式から上の式を引くと、

$9a=-9$

$a=-1$

$-4(-1)+b=7$

$4+b=7$

$b=3$

3. 最終的な答え

(1) $y=-x^2+4x-2$

(2) $a=-1$, $b=3$