複素数平面上の3点 O(0), A(2), B(β) を頂点とする三角形 OAB について、βがある条件を満たすとき、三角形OABの形状を決定し、図示するという問題です。具体的には、 (1) β が与えられた2次方程式を満たすときの β の値を求め、極形式で表す。 (2) β = zα であるときの三角形OABの図形を選択肢から選ぶ。

1. 問題の内容

複素数平面上の3点 O(0), A(2), B(β) を頂点とする三角形 OAB について、βがある条件を満たすとき、三角形OABの形状を決定し、図示するという問題です。具体的には、

(1) β が与えられた2次方程式を満たすときの β の値を求め、極形式で表す。

(2) β = zα であるときの三角形OABの図形を選択肢から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) β の値を求める

与えられた方程式は

$β^2 - 2αβ + 4α^2 = 0$

この両辺を $α^2$ で割ると

$(\frac{β}{α})^2 - 2(\frac{β}{α}) + 4 = 0$

ここで、$z = \frac{β}{α}$ とおくと

$z^2 - 2z + 4 = 0$

この2次方程式を解くと

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$

問題文より、z の虚部が正であるから

$z = 1 + \sqrt{3}i$

この複素数 z を極形式で表す。

$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

$z = 2(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)$

$\cos θ = \frac{1}{2}, \sin θ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$θ = \frac{π}{3}$

よって、$z = 2(\cos\frac{π}{3} + i\sin\frac{π}{3})$

(2) 図形を選択する

$z = \frac{β}{α}$ より、$β = zα$ であり、$z = 2(\cos\frac{π}{3} + i\sin\frac{π}{3})$ であるから、$β = 2(\cos\frac{π}{3} + i\sin\frac{π}{3})α$

したがって、$|β| = |zα| = |z||α| = 2|α| = 2 * 2 = 4$

$\angle AOB = \frac{π}{3}$

したがって、$OA = 2, OB = 4$ で、$\angle AOB = \frac{π}{3}$ となる図形を選択する。

これは⑤の図となる。

3. 最終的な答え

- ア: 1

- イ: √3

- ウ: 2

- エ: π/3

- オ: ⑤