$x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ (3) $x - \frac{1}{x}$

1. 問題の内容

$x + \frac{1}{x} = 3$ のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

(3) $x - \frac{1}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の場合：

与えられた式 $x + \frac{1}{x} = 3$ の両辺を2乗します。

$(x + \frac{1}{x})^2 = 3^2$

$x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = 9$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の場合：

与えられた式 $x + \frac{1}{x} = 3$ の両辺を3乗します。

$(x + \frac{1}{x})^3 = 3^3$

$x^3 + 3(x^2)(\frac{1}{x}) + 3(x)(\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x^3} = 27$

$x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = 27$

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) = 27$

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(3) = 27$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 27 - 9$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 18$

(3) $x - \frac{1}{x}$ の場合：

$(x - \frac{1}{x})^2$ を計算します。

$(x - \frac{1}{x})^2 = x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$

(1)で求めた $x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$ を代入します。

$(x - \frac{1}{x})^2 = 7 - 2$

$(x - \frac{1}{x})^2 = 5$

$x - \frac{1}{x} = \pm\sqrt{5}$

与えられた条件 $x+\frac{1}{x}=3$ より、$x$は正の数であることがわかります。すると、$x > \frac{1}{x}$ なので、$x - \frac{1}{x}$ は正の数です。

したがって、$x - \frac{1}{x} = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 18$

(3) $x - \frac{1}{x} = \sqrt{5}$