半径4の円Oの内側を、半径1の円Cが内接しながら滑ることなく転がる。円Cの中心Cは原点Oの周りを反時計回りに移動する。初めに点Cは(3,0)にあり、このとき円O上の点A(4,0)に円C上の点Pが重なっている。円Cが回転して$\angle COA = \theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{4}$)となったとき、円Oと円Cの接点をBとして$\angle BCP$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

半径4の円Oの内側を、半径1の円Cが内接しながら滑ることなく転がる。円Cの中心Cは原点Oの周りを反時計回りに移動する。初めに点Cは(3,0)にあり、このとき円O上の点A(4,0)に円C上の点Pが重なっている。円Cが回転して$\angle COA = \theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{4}$)となったとき、円Oと円Cの接点をBとして$\angle BCP$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

円Cが円Oの内側を回転するとき、円Cの中心Cは原点Oを中心とする半径3の円周上を移動する。

円Cが滑ることなく転がるので、円弧ABの長さと円弧PBの長さは等しい。

円弧ABの長さは$4\theta$、円弧PBの長さは$r\phi$（ここでrは円Cの半径、$\phi$は円Cの中心角、この問題ではr=1）である。

円弧ABの長さ=円弧PBの長さなので、$4\theta = \phi$

$\phi$は円Cの回転角に相当する。

$\angle BCO = \theta$より、$∠BCP = \pi - \phi$

ここで$\phi = 4\theta$なので、$∠BCP = \pi - 4\theta$

$\angle BCP$について、二等辺三角形BCPについて考えると、

$\angle CBP=\angle BPC=\frac{1}{2}(\pi-(\pi-4\theta)) = 2\theta$

$\angle OBC=\frac{\pi}{2}$なので、$\angle BCP = \phi - \pi = \pi-4\theta$

3. 最終的な答え

$\angle BCP = 3\theta$