次の角 $\theta$ について、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ の値を求めます。 (1) $\theta = \frac{9}{4}\pi$ (2) $\theta = -\frac{8}{3}\pi$

1. 問題の内容

次の角 $\theta$ について、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ の値を求めます。

(1) $\theta = \frac{9}{4}\pi$

(2) $\theta = -\frac{8}{3}\pi$

2. 解き方の手順

(1) $\theta = \frac{9}{4}\pi$ の場合

まず、$\frac{9}{4}\pi$ は $2\pi$ より大きいので、 $2\pi$ を引いて考えます。

$\frac{9}{4}\pi - 2\pi = \frac{9}{4}\pi - \frac{8}{4}\pi = \frac{1}{4}\pi$

したがって、$\frac{9}{4}\pi$ は $\frac{1}{4}\pi$ と同じ位置にあります。$\frac{1}{4}\pi = 45^\circ$ です。

$\sin(\frac{9}{4}\pi) = \sin(\frac{1}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(\frac{9}{4}\pi) = \cos(\frac{1}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(\frac{9}{4}\pi) = \tan(\frac{1}{4}\pi) = 1$

(2) $\theta = -\frac{8}{3}\pi$ の場合

$-\frac{8}{3}\pi$ に $2\pi$ を足して考えます。

$-\frac{8}{3}\pi + 2\pi = -\frac{8}{3}\pi + \frac{6}{3}\pi = -\frac{2}{3}\pi$

$-\frac{2}{3}\pi = -120^\circ$ です。　$-\frac{2}{3}\pi = -120^{\circ}$　は第3象限の角です。$-\frac{2}{3}\pi$ に $\pi$ を足すと $\pi - \frac{2}{3}\pi = \frac{\pi}{3} = 60^{\circ}$ となるので、$\frac{\pi}{3}$ と対称な位置にあります。

$\sin(-\frac{8}{3}\pi) = \sin(-\frac{2}{3}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(-\frac{8}{3}\pi) = \cos(-\frac{2}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$

$\tan(-\frac{8}{3}\pi) = \tan(-\frac{2}{3}\pi) = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{9}{4}\pi$ の場合

$\sin(\frac{9}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(\frac{9}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan(\frac{9}{4}\pi) = 1$

(2) $\theta = -\frac{8}{3}\pi$ の場合

$\sin(-\frac{8}{3}\pi) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(-\frac{8}{3}\pi) = -\frac{1}{2}$

$\tan(-\frac{8}{3}\pi) = \sqrt{3}$