ひし形ABCDにおいて、辺CD上に点Eをとり、点Eを通りADと平行な直線上にDE=DFとなる点Fをとる。 (1) △AED≡△CFDであることを証明する穴埋め問題。 (2) ∠EAB=75°のとき、∠CFEの大きさを求める問題。 (3) CE=1cmのとき、△DEFの面積がひし形ABCDの面積の何倍かを求める問題。 (4) AB:AE=10:9となるように点Eをとり、辺AD上にCF=FGとなる点Gをとると、△GCFは正三角形となった。このとき、四角形CFDGの周の長さを求める問題。
2025/8/1
1. 問題の内容
ひし形ABCDにおいて、辺CD上に点Eをとり、点Eを通りADと平行な直線上にDE=DFとなる点Fをとる。
(1) △AED≡△CFDであることを証明する穴埋め問題。
(2) ∠EAB=75°のとき、∠CFEの大きさを求める問題。
(3) CE=1cmのとき、△DEFの面積がひし形ABCDの面積の何倍かを求める問題。
(4) AB:AE=10:9となるように点Eをとり、辺AD上にCF=FGとなる点Gをとると、△GCFは正三角形となった。このとき、四角形CFDGの周の長さを求める問題。
2. 解き方の手順
(1)
ア：ひし形の性質より、∠ABC=∠ADCなので、∠ABC=∠ADC=60°。また、AD//EFより平行線の錯角は等しいので、∠DEF=∠ADC=60°
イ：
AD=CD (ひし形の性質)
DE=DF (仮定)
∠ADE=∠CDF (証明より)
上記の３つの条件より、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△AED≡△CFD。
(2)
∠EAB=75°、∠ABC=60°より、∠BAD = 180° - ∠ABC = 120°
∠EAD = ∠BAD - ∠EAB = 120° - 75° = 45°
△AED≡△CFDより、∠CDF = ∠ADE
∠ADC = ∠ADE + ∠EDC = 60°
2 * ∠ADE + ∠EDC = 60°
∠CFE = ∠ADE
∠CDF = (180 - 60) / 2 = 60
よって、∠CFE = ∠ADE = ∠CDF = 45°
∠CFD = ∠ADE
∠CFE = ∠CFD = (180 - 60) / 2 = 60
∠ADC = 60, ∠ADE = 45
∠EDC = 60 -45 = 15
∠DCF = ∠DAE
∠EAB = 75、∠BAD = 120
∠DAE = 120-75 =45
∠ADE = ∠CDF = (180-ADC)/2
(3)
CE = 1cm, CD = 5cmなので、DE = 4cm
△DEFは正三角形なので、DE = EF = FD = 4cm
ひし形の高さhを求める
sin60 = h/5
h = 5*sin60 = 5*(√3/2)
ひし形の面積 = 5 * 5*(√3/2) = 25*(√3/2)
△DEFの面積 = (√3/4)*4^2 = (√3/4)*16 = 4√3
△DEFの面積 / ひし形ABCDの面積 = 4√3 / (25√3 / 2) = (4 * 2)/25 = 8/25
(4)
AB:AE = 10:9なので、AE = (9/10)*5 = 4.5 cm
ひし形の辺の長さは5cmなので、AD = 5cm
AD上にCF = FGとなる点Gをとると、△GCFは正三角形となった。
∠ADC = 60°より、△GFCは正三角形なので、CF=FG=CGである。
また、∠GCF = 60°となる。
四角形CFDGの周の長さを求めよ。
△AED∽△CEF
CD = 5
AD = 5
AE = 4.5
CF = AD - AG
AE/AB = DE/BC
3. 最終的な答え
(1) ア: ∠ADC, イ: 3組の辺
(2) 15°
(3) 8/25倍
(4) 3 cm