問題は、直角に交わる半直線OA, OBの間に、正方形のタイルを規則的に並べて図形を作るというものです。 (1) 23番目の図形は全部で何枚のタイルがあるかを求める。 (2) (n-1)番目の図形を囲むように新たなタイルをしき、n番目の図形を作る時、新たに必要なタイルの枚数が奇数になる理由を、nを使った式で表して説明する。ただし、nは2以上の整数とする。

1. 問題の内容

問題は、直角に交わる半直線OA, OBの間に、正方形のタイルを規則的に並べて図形を作るというものです。

(1) 23番目の図形は全部で何枚のタイルがあるかを求める。

(2) (n-1)番目の図形を囲むように新たなタイルをしき、n番目の図形を作る時、新たに必要なタイルの枚数が奇数になる理由を、nを使った式で表して説明する。ただし、nは2以上の整数とする。

2. 解き方の手順

(1) 番目の図形に使われるタイルの枚数を考える。

1番目の図形には1枚のタイルが使われている。

2番目の図形には4枚のタイルが使われている。

3番目の図形には9枚のタイルが使われている。

したがって、$n$番目の図形には$n^2$枚のタイルが使われていると予想できる。

23番目の図形では、$23^2$を計算する。

(2) n番目の図形に必要なタイルの枚数は$n^2$枚である。

(n-1)番目の図形に必要なタイルの枚数は$(n-1)^2$枚である。

したがって、n番目の図形を作るために新たに必要なタイルの枚数は、

$n^2 - (n-1)^2$で計算できる。

この式を展開し、整理する。

$n^2 - (n^2 - 2n + 1) = 2n - 1$

$2n - 1$は常に奇数となるため、新たに必要なタイルの枚数は奇数である。

3. 最終的な答え

(1) 529枚

(2)

$n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1$

$2n - 1$は奇数である。

よって、(n-1)番目の図形を囲むように新たなタイルをしき、n番目の図形を作る時、新たに必要なタイルの枚数は奇数になる。