直角三角形ABCにおいて、$\angle C=90^{\circ}$, $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$とする。内接円の半径を$r$とする。 (1) $c = a+b-2r$が成り立つことを示せ。 (2) 三角形の周の長さと内接円の直径の和が2のとき、$c$を$r$で表せ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$\angle C=90^{\circ}$, $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$とする。内接円の半径を$r$とする。

(1) $c = a+b-2r$が成り立つことを示せ。

(2) 三角形の周の長さと内接円の直径の和が2のとき、$c$を$r$で表せ。

2. 解き方の手順

(1) 内接円と辺BC, CA, ABとの接点をそれぞれD, E, Fとおくと、$CD = CE = r$だから、$AE = b-r$, $BD = a-r$。

ここで、$BF=BD=a-r$, $AF=AE=b-r$。

$AB = AF + BF$だから、$c = a-r + b-r$。

よって、$c = a+b-2r$。

(2) 条件と(1)より、$a+b+c+2r=2$, $c-a-b+2r=0$。

一つ目の式から、$a+b = 2-c-2r$。

二つ目の式を変形すると、$a+b = c+2r$。

したがって、$2-c-2r = c+2r$。

よって、$2c+4r = 2$。

したがって、$c = 1-2r$。

3. 最終的な答え

(1) $c = a+b-2r$

(2) $c = 1-2r$