四面体ABCDにおいて、面BCD, ACD, ABD, ABCの重心をそれぞれP, Q, R, Sとします。 (1) PQとABは平行であることを示してください。 (2) 四面体ABCDと四面体PQRSの体積比を求めてください。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、面BCD, ACD, ABD, ABCの重心をそれぞれP, Q, R, Sとします。

(1) PQとABは平行であることを示してください。

(2) 四面体ABCDと四面体PQRSの体積比を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) PQとABが平行であることの証明

$\vec{AP}$を$\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$で表し、同様に$\vec{AQ}$も$\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$で表します。

Pは三角形BCDの重心なので、

$\vec{AP} = \frac{\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}}{3}$

Qは三角形ACDの重心なので、

$\vec{AQ} = \frac{\vec{AC}+\vec{AD}}{3}$

したがって、

$\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP} = \frac{\vec{AC}+\vec{AD}}{3} - \frac{\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}}{3} = -\frac{1}{3}\vec{AB}$

$\vec{PQ} = -\frac{1}{3}\vec{AB}$であるので、$\vec{PQ}$と$\vec{AB}$は平行です。

したがって、PQとABは平行です。

(2) 四面体ABCDと四面体PQRSの体積比の計算

四面体ABCDの体積をVとします。

$\vec{AP} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD})$

$\vec{AQ} = \frac{1}{3}(\vec{AC} + \vec{AD})$

$\vec{AR} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AD})$

$\vec{AS} = \frac{1}{3}(\vec{AB} + \vec{AC})$

したがって、四面体PQRSの体積は

$\frac{1}{6}|\vec{PQ} \cdot (\vec{PR} \times \vec{PS})|$で表すことができます。

$\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP} = -\frac{1}{3}\vec{AB}$

$\vec{PR} = \vec{AR} - \vec{AP} = -\frac{1}{3}\vec{AC}$

$\vec{PS} = \vec{AS} - \vec{AP} = -\frac{1}{3}\vec{AD}$

したがって、

$V_{PQRS} = \frac{1}{6}|-\frac{1}{3}\vec{AB} \cdot (-\frac{1}{3}\vec{AC} \times -\frac{1}{3}\vec{AD})| = \frac{1}{6} |\frac{-1}{27} (\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD}))|$

$V_{PQRS} = \frac{1}{27} \times \frac{1}{6}| \vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})| = \frac{1}{27}V_{ABCD}$

したがって、求める体積比は

$V_{ABCD} : V_{PQRS} = 1 : \frac{1}{27} = 27 : 1$

3. 最終的な答え

(1) PQとABは平行である。（証明終わり）

(2) 体積比は 27 : 1