四面体$ABCD$において、面$BCD, ACD, ABD, ABC$の重心をそれぞれ$P, Q, R, S$とする。 (1) $PQ$と$AB$は平行であることを示せ。

1. 問題の内容

四面体$ABCD$において、面$BCD, ACD, ABD, ABC$の重心をそれぞれ$P, Q, R, S$とする。

(1) $PQ$と$AB$は平行であることを示せ。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{AP}$を$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$で表す。

$P$は三角形$BCD$の重心であるから、

$$\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{3}$$

同様に、$Q$は三角形$ACD$の重心であるから、

$$\overrightarrow{AQ} = \frac{\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{3}$$

したがって、

\begin{align*}

\overrightarrow{PQ} &= \overrightarrow{AQ} - \overrightarrow{AP} \\

&= \frac{\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{3} - \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{3} \\

&= -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}

\end{align*}

$\overrightarrow{PQ}$は$\overrightarrow{AB}$の定数倍であるから、$PQ$と$AB$は平行である。

3. 最終的な答え

$PQ$と$AB$は平行である。