四面体ABCDにおいて、面BCD, ACD, ABD, ABCの重心をそれぞれP, Q, R, Sとする。 (1) PQとABは平行であることを示す。

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、面BCD, ACD, ABD, ABCの重心をそれぞれP, Q, R, Sとする。

(1) PQとABは平行であることを示す。

2. 解き方の手順

Pは面BCDの重心なので、$\vec{AP} = \frac{\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}}{3}$ と表せる。

Qは面ACDの重心なので、$\vec{AQ} = \frac{\vec{AC}+\vec{AD}}{3}$ と表せる。

$\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP}$を計算する。

$\vec{PQ} = \frac{\vec{AC}+\vec{AD}}{3} - \frac{\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}}{3} = -\frac{\vec{AB}}{3}$

したがって、$\vec{PQ} = -\frac{1}{3}\vec{AB}$となる。

$\vec{PQ}$は$\vec{AB}$のスカラー倍なので、PQとABは平行である。

3. 最終的な答え

PQとABは平行である。