与えられたトラス構造物において、節点法または切断法を用いて各部材の軸力を求め、その軸力が圧縮力か引張力かを判定します。構造は左右対称であり、対称性を利用して解くことが推奨されています。

1. 問題の内容

与えられたトラス構造物において、節点法または切断法を用いて各部材の軸力を求め、その軸力が圧縮力か引張力かを判定します。構造は左右対称であり、対称性を利用して解くことが推奨されています。

2. 解き方の手順

まず、反力を求めます。構造が左右対称であることと、荷重も左右対称であることから、支点AとEの反力は等しくなります。

$R_A = R_E$

全体の鉛直方向の力のつり合いを考えると、

$R_A + R_E = P/2 + P + P + P/2 = 3P$

したがって、

$R_A = R_E = \frac{3P}{2}$

次に、節点Aに注目します。節点Aには、反力$R_A$、部材ABの軸力$F_{AB}$、部材AGの軸力$F_{AG}$が作用します。

鉛直方向の力のつり合いを考えると、

$R_A + F_{AG} \sin{\theta} = 0$

水平方向の力のつり合いを考えると、

$F_{AB} + F_{AG} \cos{\theta} = 0$

ここで、$\theta$は部材AGが水平となす角であり、$\sin{\theta} = \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\cos{\theta} = \frac{1}{\sqrt{2}}$となります。

$F_{AG} = -R_A / \sin{\theta} = -\frac{3P}{2} / \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{3\sqrt{2}P}{2}$ (圧縮力)

$F_{AB} = -F_{AG} \cos{\theta} = - (-\frac{3\sqrt{2}P}{2}) \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3P}{2}$ (引張力)

次に、節点Gに注目します。節点Gには、荷重$P/2$、部材AGの軸力$F_{AG}$、部材BGの軸力$F_{BG}$、部材GHの軸力$F_{GH}$が作用します。

鉛直方向の力のつり合いを考えると、

$P/2 + F_{AG} \sin{\theta} + F_{BG} \sin{\theta} = 0$

$F_{BG} = -(P/2 + F_{AG} \sin{\theta}) / \sin{\theta} = - (P/2 - \frac{3\sqrt{2}P}{2} \frac{1}{\sqrt{2}}) / \frac{1}{\sqrt{2}} = - (P/2 - 3P/2) / \frac{1}{\sqrt{2}} = P \sqrt{2}$ (引張力)

水平方向の力のつり合いを考えると、

$F_{AG} \cos{\theta} - F_{GH} - F_{BG} \cos{\theta} = 0$

$F_{GH} = F_{AG} \cos{\theta} - F_{BG} \cos{\theta} = -\frac{3\sqrt{2}P}{2}\frac{1}{\sqrt{2}} - P\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}} = -3P/2 - P = -5P/2$ (圧縮力)

対称性より、

$F_{CD} = F_{AB} = \frac{3P}{2}$ (引張力)

$F_{BC} = F_{AB} = \frac{3P}{2}$ (引張力)

$F_{HI} = F_{GH} = -\frac{5P}{2}$ (圧縮力)

$F_{BG} = F_{DH} = \sqrt{2} P$ (引張力)

$F_{AG} = F_{EJ} = -\frac{3\sqrt{2}P}{2}$ (圧縮力)

$F_{ID} = F_{BG} = \sqrt{2} P$ (引張力)

節点Bにおいて、$F_{AB}$, $F_{BG}$, $F_{BC}$の力がつりあう必要がある。

$F_{BC} = F_{AB} = 3P/2$ （引張力）

節点Cにおいて、$F_{BC}$, $F_{CD}$, $F_{HC}$の力がつりあう必要がある。

同様に対象性より、$F_{HC} = F_{BG} = \sqrt{2} P$ （引張力）

節点Hにおいて、$F_{GH}$, $F_{HI}$, $F_{CH}$, $F_{HD}$の力がつりあう。

$F_{HD} = F_{BG} = \sqrt{2}P$

まとめると、

$F_{AB} = F_{CD} = \frac{3P}{2}$ (引張力)

$F_{BC} = \frac{3P}{2}$ (引張力)

$F_{AG} = F_{EJ} = -\frac{3\sqrt{2}P}{2}$ (圧縮力)

$F_{GH} = F_{HI} = -\frac{5P}{2}$ (圧縮力)

$F_{BG} = F_{DH} = P\sqrt{2}$ (引張力)

$F_{CH}=F_{ID}=\sqrt{2}P$ (引張力)

3. 最終的な答え

$F_{AB} = \frac{3P}{2}$ (引張力)

$F_{BC} = \frac{3P}{2}$ (引張力)

$F_{CD} = \frac{3P}{2}$ (引張力)

$F_{AG} = -\frac{3\sqrt{2}P}{2}$ (圧縮力)

$F_{BG} = \sqrt{2}P$ (引張力)

$F_{GH} = -\frac{5P}{2}$ (圧縮力)

$F_{HI} = -\frac{5P}{2}$ (圧縮力)

$F_{ID} = \sqrt{2}P$ (引張力)

$F_{EJ} = -\frac{3\sqrt{2}P}{2}$ (圧縮力)

$F_{HD} = \sqrt{2}P$ (引張力)

$F_{CI}=\sqrt{2}P$