濃度のわからない食塩水があり、その凝固点が-0.80℃である。水の凝固点降下定数は $K_f = 1.86 \text{ K kg mol}^{-1}$ である。以下の問いに答える。 (1) 溶液中のNaClの質量モル濃度を求めよ。 (2) 溶液中のNaClのモル分率を求めよ。 (3) 20℃における溶液の溶媒(水)の化学ポテンシャルが、純粋な水と比較してどれだけ変化しているか求めよ。 (4) 上記水溶液において、20℃の場合と、凝固点よりも低い温度の場合における、ギブズエネルギーの大小について、エンタルピーとエントロピーを用いて説明せよ。

1. 問題の内容

濃度のわからない食塩水があり、その凝固点が-0.80℃である。水の凝固点降下定数は $K_f = 1.86 \text{ K kg mol}^{-1}$ である。以下の問いに答える。

(1) 溶液中のNaClの質量モル濃度を求めよ。

(2) 溶液中のNaClのモル分率を求めよ。

(3) 20℃における溶液の溶媒(水)の化学ポテンシャルが、純粋な水と比較してどれだけ変化しているか求めよ。

(4) 上記水溶液において、20℃の場合と、凝固点よりも低い温度の場合における、ギブズエネルギーの大小について、エンタルピーとエントロピーを用いて説明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 凝固点降下を利用して質量モル濃度を求める。

凝固点降下度 $\Delta T_f$ は、$\Delta T_f = K_f \cdot m \cdot i$ で表される。ここで、$K_f$は凝固点降下定数、$m$は質量モル濃度、$i$はファンとホッフ因子である。

NaClは水中で完全に電離すると仮定すると、$i = 2$となる。

$\Delta T_f = 0 - (-0.80) = 0.80 \text{ K}$

$0.80 = 1.86 \times m \times 2$

$m = \frac{0.80}{1.86 \times 2} \approx 0.215 \text{ mol/kg}$

(2) NaClのモル分率を求める。

質量モル濃度が $0.215 \text{ mol/kg}$ であるとは、水 $1 \text{ kg}$ (つまり $1000 \text{ g}$) 中に $0.215 \text{ mol}$ の NaCl が溶けていることを意味する。

水の分子量は $18 \text{ g/mol}$ なので、$1000 \text{ g}$ の水は $\frac{1000}{18} \approx 55.56 \text{ mol}$ である。

NaCl のモル分率は、

$\frac{0.215}{0.215 + 55.56} \approx \frac{0.215}{55.775} \approx 0.00386$

(3) 化学ポテンシャルの変化を求める。

溶媒の化学ポテンシャルの変化 $\Delta \mu$ は、希薄溶液の場合、$\Delta \mu = -R T x_B$ で近似できる。ここで、$R$ は気体定数 ($8.314 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$)、$T$ は絶対温度、$x_B$ は溶質のモル分率である。

$T = 20^\circ \text{C} = 293.15 \text{ K}$

$x_B = 0.00386$ (NaCl のモル分率)

$\Delta \mu = -8.314 \times 293.15 \times 0.00386 \approx -9.34 \text{ J/mol}$

(4) ギブズエネルギーの大小について説明する。

ギブズエネルギー $G$ は、$G = H - TS$ で表される。ここで、$H$ はエンタルピー、$T$ は絶対温度、$S$ はエントロピーである。

20℃の場合：

食塩水が溶けているため、純水よりもエントロピーは大きくなる。エンタルピーは溶解熱によって変化するが、ここでは理想溶液と仮定して、エンタルピー変化は小さいと考える。

したがって、20℃では純水に比べてエントロピー項が大きくなり、$TS$ が大きくなるため、ギブズエネルギーは小さくなる。

凝固点より低い温度の場合：

凝固点以下では、溶液は凝固し、固体である氷と塩化ナトリウムの混合物として存在する。この状態は、20℃の溶液状態に比べてエントロピーが小さくなる。

エンタルピーは、凝固による発熱を考慮する必要がある。

温度が低いため、$T$ 自体が小さくなり、$TS$ の寄与が小さくなる。

凝固点以下では、エントロピーが大きく減少する影響で、ギブズエネルギーは一般的に高くなる。エンタルピーの変化（凝固熱）も寄与するが、温度が低いほど、エントロピーの影響が大きくなる。

3. 最終的な答え

(1) NaClの質量モル濃度: $0.215 \text{ mol/kg}$

(2) NaClのモル分率: $0.00386$

(3) 化学ポテンシャルの変化: $-9.34 \text{ J/mol}$

(4) ギブズエネルギーの大小:

20℃の場合：純水よりもギブズエネルギーは小さくなる。

凝固点より低い温度の場合：20℃の溶液に比べてギブズエネルギーは大きくなる。