LC直列回路において、時刻 $t=0$ における電流が $I(0)=I_0$、コイル両端の電位差が $V_L(0)=V_0$ であるとき、時刻 $t$ における電流 $I(t)$ を求めよ。

1. 問題の内容

LC直列回路において、時刻 $t=0$ における電流が $I(0)=I_0$、コイル両端の電位差が $V_L(0)=V_0$ であるとき、時刻 $t$ における電流 $I(t)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

LC直列回路における電流 $I(t)$ は、以下の微分方程式に従います。

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L \frac{dI(t)}{dt} + \frac{1}{C} \int I(t) dt = 0

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この微分方程式を時間で微分すると、

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L \frac{d^2I(t)}{dt^2} + \frac{1}{C} I(t) = 0

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が得られます。これは、

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\frac{d^2I(t)}{dt^2} + \frac{1}{LC} I(t) = 0

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と書き換えることができます。

$\omega^2 = \frac{1}{LC}$ と置くと、

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\frac{d^2I(t)}{dt^2} + \omega^2 I(t) = 0

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この微分方程式の一般解は、

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I(t) = A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)

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と表されます。ここで、$A$ と $B$ は定数です。

初期条件 $I(0) = I_0$ を用いると、

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I(0) = A \cos(0) + B \sin(0) = A = I_0

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したがって、$A = I_0$ が得られます。

次に、$I(t)$ を時間で微分すると、

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\frac{dI(t)}{dt} = -A \omega \sin(\omega t) + B \omega \cos(\omega t)

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$V_L(t) = L\frac{dI(t)}{dt}$であるから、$V_L(0) = L \frac{dI(0)}{dt} = V_0$ となります。

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\frac{dI(0)}{dt} = -A \omega \sin(0) + B \omega \cos(0) = B \omega = \frac{V_0}{L}

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したがって、$B = \frac{V_0}{L\omega} = \frac{V_0}{\sqrt{L/C}} = V_0 \sqrt{\frac{C}{L}}$ が得られます。

よって、$I(t)$ は、

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I(t) = I_0 \cos(\omega t) + V_0 \sqrt{\frac{C}{L}} \sin(\omega t)

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と表されます。

3. 最終的な答え

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I(t) = I_0 \cos(\frac{t}{\sqrt{LC}}) + V_0 \sqrt{\frac{C}{L}} \sin(\frac{t}{\sqrt{LC}})

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