不等式 $\frac{2}{x-1} \geq x$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{2}{x-1} \geq x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の右辺を0にします。

$\frac{2}{x-1} - x \geq 0$

次に、左辺を整理して一つの分数にします。

$\frac{2 - x(x-1)}{x-1} \geq 0$

$\frac{2 - x^2 + x}{x-1} \geq 0$

$\frac{-x^2 + x + 2}{x-1} \geq 0$

分母の符号を変えずに分子の符号を変えるために、分子に-1をかけます。不等号の向きも変わります。

$\frac{x^2 - x - 2}{x-1} \leq 0$

分子を因数分解します。

$\frac{(x-2)(x+1)}{x-1} \leq 0$

次に、この不等式の解を求めます。

$x-2 = 0$ より $x=2$

$x+1 = 0$ より $x=-1$

$x-1 = 0$ より $x=1$

これらの値 $x=-1, 1, 2$ を数直線上に配置し、それぞれの区間で不等号が成り立つかどうかを調べます。

- $x < -1$ のとき、$\frac{(x-2)(x+1)}{x-1}$ は $\frac{(-)(-)}{(-)}$ なので、負となり、$\frac{(x-2)(x+1)}{x-1} \leq 0$ を満たします。

- $-1 < x < 1$ のとき、$\frac{(x-2)(x+1)}{x-1}$ は $\frac{(-)(+)}{(-)}$ なので、正となり、$\frac{(x-2)(x+1)}{x-1} \leq 0$ を満たしません。

- $1 < x < 2$ のとき、$\frac{(x-2)(x+1)}{x-1}$ は $\frac{(-)(+)}{(+)}$ なので、負となり、$\frac{(x-2)(x+1)}{x-1} \leq 0$ を満たします。

- $x > 2$ のとき、$\frac{(x-2)(x+1)}{x-1}$ は $\frac{(+)(+)}{(+)}$ なので、正となり、$\frac{(x-2)(x+1)}{x-1} \leq 0$ を満たしません。

不等式 $\frac{(x-2)(x+1)}{x-1} \leq 0$ の解は、$x = -1$ および $x = 2$ を含み、$x = 1$ を含みません。

したがって、解は $x \leq -1$ または $1 < x \leq 2$ となります。

3. 最終的な答え

$x \leq -1, 1 < x \leq 2$