半径4の円Oの内側を、半径1の円Cが滑らずに転がる。円Cの中心Cは原点Oの周りを反時計回りに移動する。最初に点Cは(3,0)にあり、円O上の点A(4,0)に重なっている円C上の点をPとする。 (1) 円Cが回転して$\angle COA = \theta$ $(0 < \theta < \frac{\pi}{4})$となったとき、円Oと円Cの接点をBとして$\angle BCP$の大きさを求めよ。 (2) (1)のとき、点Pの座標$x$, $y$を$\theta$を用いて表せ。

1. 問題の内容

半径4の円Oの内側を、半径1の円Cが滑らずに転がる。円Cの中心Cは原点Oの周りを反時計回りに移動する。最初に点Cは(3,0)にあり、円O上の点A(4,0)に重なっている円C上の点をPとする。

(1) 円Cが回転して$\angle COA = \theta$ $(0 < \theta < \frac{\pi}{4})$となったとき、円Oと円Cの接点をBとして$\angle BCP$の大きさを求めよ。

(2) (1)のとき、点Pの座標$x$, $y$を$\theta$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

円Cが円Oの内側を回転するとき、円Cの中心Cは半径3の円上を動く。

円Cが$\angle COA = \theta$だけ回転したとき、円C上の点Pは円C上でどれだけ回転したかを考える。

円Oの円弧ABの長さは$4\theta$である。

円Cの円弧PBの長さは、滑らずに回転するので、円弧ABの長さに等しい。

したがって、円Cの円弧PBの長さは$4\theta$である。

円Cの半径は1なので、円Cの中心角$\angle BCP$は$4\theta$となる。

よって、$\angle BCP = 4\theta$。

(2)

点Cの座標は$(3\cos\theta, 3\sin\theta)$である。

$\vec{CP}$は、$\vec{CB}$を$4\theta$回転させたベクトルである。

$\vec{CB}$は、円Cの半径1のベクトルで、$\angle COA = \theta$の方向にある。

したがって、$\vec{CB} = (\cos\theta, \sin\theta)$である。

$\vec{CP}$は、$\vec{CB}$を$4\theta$回転させたベクトルなので、

$\vec{CP} = (\cos(\theta + 4\theta), \sin(\theta + 4\theta)) = (\cos(5\theta), \sin(5\theta))$である。

点Pの座標は、点Cの座標に$\vec{CP}$を加えたものである。

したがって、点Pの座標は

$x = 3\cos\theta + \cos(5\theta)$

$y = 3\sin\theta + \sin(5\theta)$

3. 最終的な答え

(1)

$4\theta$

(2)

$x = 3\cos\theta + \cos(5\theta)$

$y = 3\sin\theta + \sin(5\theta)$