与えられた連立一次方程式を、拡大係数行列の基本変形を用いて解く問題です。ここでは問題5.3の(1)と(2)を解きます。 (1) $ \begin{cases} 2x_1 + 3x_2 = -1 \\ x_1 - x_2 = 2 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} 3x_1 + 2x_2 = 0 \\ x_1 - 2x_2 = 8 \end{cases} $
2025/7/26
1. 問題の内容
与えられた連立一次方程式を、拡大係数行列の基本変形を用いて解く問題です。ここでは問題5.3の(1)と(2)を解きます。
(1)
\begin{cases}
2x_1 + 3x_2 = -1 \\
x_1 - x_2 = 2
\end{cases}
(2)
\begin{cases}
3x_1 + 2x_2 = 0 \\
x_1 - 2x_2 = 8
\end{cases}
2. 解き方の手順
(1) の場合:
1. 拡大係数行列を作成します。
\left[
\begin{array}{cc|c}
2 & 3 & -1 \\
1 & -1 & 2
\end{array}
\right]
2. 行の入れ替えを行います（1行目と2行目を入れ替えます）。
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & -1 & 2 \\
2 & 3 & -1
\end{array}
\right]
3. 2行目を $R_2 - 2R_1$ で置き換えます。
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & -1 & 2 \\
0 & 5 & -5
\end{array}
\right]
4. 2行目を $\frac{1}{5}R_2$ で置き換えます。
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & -1 & 2 \\
0 & 1 & -1
\end{array}
\right]
5. 1行目を $R_1 + R_2$ で置き換えます。
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -1
\end{array}
\right]
6. したがって、$x_1 = 1$、$x_2 = -1$
(2) の場合:
1. 拡大係数行列を作成します。
\left[
\begin{array}{cc|c}
3 & 2 & 0 \\
1 & -2 & 8
\end{array}
\right]
2. 行の入れ替えを行います（1行目と2行目を入れ替えます）。
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & -2 & 8 \\
3 & 2 & 0
\end{array}
\right]
3. 2行目を $R_2 - 3R_1$ で置き換えます。
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & -2 & 8 \\
0 & 8 & -24
\end{array}
\right]
4. 2行目を $\frac{1}{8}R_2$ で置き換えます。
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & -2 & 8 \\
0 & 1 & -3
\end{array}
\right]
5. 1行目を $R_1 + 2R_2$ で置き換えます。
\left[
\begin{array}{cc|c}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & -3
\end{array}
\right]
6. したがって、$x_1 = 2$、$x_2 = -3$
3. 最終的な答え
(1) ,
(2) ,