$a$ を定数とするとき、方程式 $x|x| - 6x = a$ の異なる実数解の個数を調べる。

1. 問題の内容

$a$ を定数とするとき、方程式 $x|x| - 6x = a$ の異なる実数解の個数を調べる。

2. 解き方の手順

方程式 $x|x| - 6x = a$ の実数解の個数を調べるために、$y = x|x| - 6x$ のグラフと $y = a$ のグラフの交点の個数を考える。

まず、$x$ の符号によって場合分けをする。

(i) $x \ge 0$ のとき、 $|x| = x$ なので、

$y = x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9$ となる。

$x \ge 0$ なので、この範囲でのグラフを考える。

(ii) $x < 0$ のとき、 $|x| = -x$ なので、

$y = -x^2 - 6x = -(x+3)^2 + 9$ となる。

$x < 0$ なので、この範囲でのグラフを考える。

$y = x|x| - 6x$ のグラフは、$x \ge 0$ で $y = x^2 - 6x$, $x < 0$ で $y = -x^2 - 6x$ となる。

次に、 $y=x|x|-6x$ と $y=a$ のグラフの交点の個数を調べる。

(i) $x \ge 0$ のとき、 $y=x^2-6x$ であり、頂点は $(3, -9)$ である。

(ii) $x < 0$ のとき、 $y=-x^2-6x$ であり、頂点は $(-3, 9)$ である。

$y = a$ と $y=x|x|-6x$ のグラフの交点の個数は、$a$ の値によって変化する。

- $a < -9$ のとき、交点は 0 個

- $a = -9$ のとき、交点は 1 個

- $-9 < a < 9$ のとき、交点は 2 個

- $a = 9$ のとき、交点は 3 個

- $a > 9$ のとき、交点は 2 個

3. 最終的な答え

- $a < -9$ のとき、実数解は 0 個

- $a = -9$ のとき、実数解は 1 個

- $-9 < a < 9$ のとき、実数解は 2 個

- $a = 9$ のとき、実数解は 3 個

- $a > 9$ のとき、実数解は 2 個